bonsoir,

j'ai petit souci concernant une inégalité donnée :

Pour tout x >0 je doit montrer que cette inégalité est vraie :

x /( 1/x ) < log (1+x) < x

Bon je prends comme exemple x = 1 , et j'obtients :

1/2 < log 2 < 1  
or 1/2 > log 2

Donc

Je vais regarder la solution dans livre de l'exrecice :

Considérons les 2 fonctions u et v de ]0 , + [ dans définie par :

u(x) = x / (1/x) - log ( 1+x) , v(x)= x - log (1+x)

Ces fonction sont dérivables.pour x > 0 , on a :

v'(x) = 1/ (1+ x²) - 1/(1+x) , v'(x)= 1 - 1/(1+x)

et , en remarquant que l'on a 0 < 1/(1+x) < 1 (donc 1(1+x²) < 1(1+x) ) , on obtient u'(x) < 0 et v'(x) > 0 .
La fonction u est strictement décroisasnte et l'on a u(x) = 0, donc u(x) < 0
pour tout x >0 ; de meme la fonction v est strictement croissante et l'on a v(0) = 0 donc v(x) > 0 pour tout x > 0. Cela montre les inégalités demandées .

Donc la je ne comprends pas pourquoi ils partent dans ce sens....
en fait ou est ce qu'il sont parti chercher cette solution ????