Bonsoir, ce sont les suites arithmético-géométriques, tu peux regarder l'aritcle de wiki à ce sujet qui te donne le terme général de la suite:

Super !!

Merci


donc pour u_n+1 = a U_n + b
c'est : U_n = aⁿ ( U₀ - b/(1-a) ) + b/(1-a)

J'ai une derniere ptite question :

une relation fonctionelle existe-t-elle si la fonction de recurence c'est U_n+2 = U_n+1 + U_n


Merci

oui :


Un = a*phi^n+b*phi'^n

ou phi et phi' sont les racines du polynome x^2-x-1

(ce sont le nombre d'or et son conjugé)

a et b sont des constante qui dépendent de Uo et U1

Merci !!

mais j'ai un ptit soucis :

U_n+2 = U_n+1 + U_n avec U₀ = 0 et U₁ = 1

donc je fais ce que tu m'as dit ( mais probablement avec une erreur vu que ca marche pas tout a fait ^^ )

((1 + V5) / 2)^n + ((1 - V5) / 2)^n

et donc, en faite, comment lui dire que U₀ = 0 et U₁ = 1 ? parce que là il fait fait ca :

U₀ = 2 et U₁ = 1  pour cette suite : 2 1 3 4 7 11 ...


Merci

t'as oublié les constantes a et b aussi, faut les choisir pour avoir Uo=0 et U1=1

Ah ! mais je les choisis comment ?

En faite je pensais que U_n+2 =  a × U_n+1 + b × U_n
donc pour mon exemple a = 1 et b = 1 donc on été pas obligé de les mettre. Donc voilà mon erreur ^^




donc je choisis a en fonction U₀ et b en fonction de U₁, mais comment ?

J'ai essayé pour U₀ = a et U₁ = b ça n'a pas marché

ET bien, tu as un systeme de deux équation a deux inconnu que tu résouds :


si on pose Un = a*Phi^n+b*phi'^n (phi et phi' les racines de x^2-x-1)

alors Uo =a+b, donc si tu veux Uo=0 il faut que b=-a.

on a donc Un=a*(Phi^n-Phi'^n)

donc U1 = a*(phi-phi') = a*sqrt(5), donc si on veux que U1 = 1, on prend a=1/sqrt(5)

finalement Un = (phi^n-phi'^n)/sqrt(5)



pour la suite Un+2 =  a × Un+1 + b × Un

la solution est Un = k*x^n+k'*x'^n

ou x et x' sont les solutions de x^2=a*x+b et k et k' des constantes dépendant des conditions initiales
(sauf si x^2-a*x-b a une racine double dans ce cas il faut prendre Un=(k*n+k')*x^n

D'accord !!

Merci à toi et à ta patience, j'ai enfin compris