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Suite Série et constante d Euler

Posté par framixone (invité) 25-11-05 à 11:27

Bonjour à tous

Avant de me dire que le sujet à déjà été traité dans un autre post et de m'envoyer le lire.......sachez que je l'ai fait et que la réponse ne ma satisfait pas.

je repose donc le probleme
Un=somme de p=1 à n ln(p)/p  - 1/2ln(n)^2
1/Nature de la suite Un-Un-1

??????

2/En déduire la nature de(Un) dc Un croissante positive

Pas de Problème si j'arrive à trouver le 1/

3/ Nature de la série (-1)^n ln(n)/n

OK

4/ Déterminer la somme de la série (-1)^n ln(n)/n

?????

Merci d'avance

Posté par framixone (invité)re : Suite Série et constante d Euler 28-11-05 à 10:59

Bon mon probleme n'interresse personne......

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Suite Série et constante d Euler 28-11-05 à 11:12

Commence par écrire la somme initiale de manière non ambigüe.

Un=somme de p=1 à n ln(p)/p  - 1/2ln(n)^2  ?????

Est-ce:

Un=somme de p=1 à n [ln(p)/p  - (1/2).ln²(n)]

ou bien

Un=somme de p=1 à n [ln(p)/p  - (1/2).ln(n²)]

ou bien

Un=somme de p=1 à n [ln(p)/p  - 1/(2ln²(n))]

ou bien

Un=somme de p=1 à n [ln(p)/p  - 1/(2ln(n²))]

  

Posté par framixone (invité)re : Suite Série et constante d Euler 29-11-05 à 09:05

Excusez moi c'est vrai que c'est un peu ambigu
il s'agit de
Un=somme de p=1 à n [ln(p)/p - (1/2).ln(n²)]

merci d'avance

Framy

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Suite Série et constante d Euler 29-11-05 à 10:50

4$ U_n=\bigsum_{p=1}^n [\frac{ln(p)}{p}-\frac{1}{2}.ln(n^2)]
4$ U_n=\bigsum_{p=1}^n [\frac{ln(p)}{p}-ln(n)]

4$ U_{n-1}=\bigsum_{p=1}^{n-1} [\frac{ln(p)}{p}-ln(n-1)]

4$ U_n = \frac{ln(1)}{1} + \frac{ln(2)}{2} + \frac{ln(3)}{3} + . . . + \frac{ln(n)}{n} -n.ln(n)

4$ U_{n-1} = \frac{ln(1)}{1} + \frac{ln(2)}{2} + \frac{ln(3)}{3} + . . . + \frac{ln(n-1)}{n-1} -(n-1).ln(n-1)

4$ U_n - U_{n-1} = \frac{ln(n)}{n} - n.ln(n) + (n-1).ln(n-1)

4$ U_n - U_{n-1} = \frac{ln(n)}{n} - (n-1).ln(n) -ln(n) + (n-1).ln(n-1)

4$ U_n - U_{n-1} = -(1 - \frac{1}{n}).ln(n) -(n-1).ln(\frac{n}{n-1})

4$ U_n - U_{n-1} = -(\frac{n-1}{n}).ln(n) -(n-1).ln(\frac{n}{n-1})

Pour n > 1, on a:
-(\frac{n-1}{n}).ln(n) < 0
et aussi
-(n-1).ln(\frac{n}{n-1}) < 0 (puisque le log d'un nombre > 1 est positif).

-->

4$ U_n - U_{n-1} < 0 comme somme de 2 quantités négatives.

4$ U_n < U_{n-1}

Et donc la suite Un est décroissante.

Contrairement à ce que tu as écrit ????
-----
Sauf distraction.  


Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Suite Série et constante d Euler 29-11-05 à 11:01

Complément qui va dans le sens de ce que j'ai trouvé:

U1 = ln(1)/1 - (1/2)*ln(1²) = 0

U2 = [ln(1)/1 - (1/2)*ln(2²)] + [ln(2)/2 - (1/2)*ln(2²)] = -1,039...

On a bien U2 < U1 ce qui va dans le sans de Un décroissante négative et pas croissante positive.

Ou alors Un est différent de ce que tu as écrit, peut-être:

U_n = \bigsum_{p=1}^n [\frac{ln(p)}{p}] - \frac{1}{2}.ln(n^2)

Mais c'et alors une autre suite.

Posté par framixone (invité)re : Suite Série et constante d Euler 01-12-05 à 08:20

Merci

J'ai fait une erreur dans mon énoncé......

Il s'agit bien d'une autre suite (mais cet exercice m'a fait travaillé quand même)

On définit la suite (Un)n* par:
      n
Un= ((ln p)/p - (1/2)ln²n)
     p=1

1/Etudier la nature de la série de terme général Un-Un-1

En calculant Un-Un-1 je trouve (ln n)/n + (1/2) ln²(1+1/n)
Un-Un-1 >0 Pour tout n*
Et après je bloque


4/ Déterminer en fonction de la constante d'euler la somme de la série de treme général (-1)^n (ln n)/n

Et là encore je bloque, je ne sais pas comment faire

Merci beaucoup pour votre aide!
Framy

Posté par
piepalmre : Suite Série et constante d Euler 01-12-05 à 09:25

Je pense que ton énoncé est encore faux, et que le  - (1/2)ln²n est en dehors de la sommation
(sinon Un tend vers -inf )

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Suite Série et constante d Euler 01-12-05 à 10:22

Bonjour;
Effectivement piepalm,le 3$\frac{1}{2}ln^2(n) est bien en dehors de la sommation et on a 3$\fbox{(\forall n\ge2)\hspace{5}u_n-u_{n-1}=\frac{ln(n)}{n}+\frac{1}{2}(ln^2(n-1)-ln^2(n))=\frac{ln(n)}{n}+\frac{1}{2}ln(1-\frac{1}{n})ln(n^2-n)} ou encore 3$\fbox{(\forall n\ge2)\hspace{5}u_n-u_{n-1}=\frac{ln(n)}{n}+\frac{1}{2}ln(1-\frac{1}{n})(2ln(n)+ln(1-\frac{1}{n})=\frac{ln(n)}{n}+\frac{1}{2}( -\frac{1}{n}+O(\frac{1}{n^2}))(2ln(n)-\frac{1}{n}+O(\frac{1}{n^2}))} et on voit bien que 4$\fbox{u_n-u_{n-1}=O(\frac{1}{n^2})} la série de terme général 3$u_n-u_{n-1} est donc convergente et ceci revient à dire que la suite 3$(u_n) est convergente.

Sauf erreurs bien entendu

Posté par framixone (invité)re : Suite Série et constante d Euler 01-12-05 à 10:52

bonjour

oui encore pardon

je suis étourdie!!!!!!! j'ai mal placé ma parenthèse fermante.....
merci beaucoup de me reprendre à chaque fois

merci aussi pour la convergence.
Par contre je ne sais pas du tout comment commencer à la question 4(avec euler)

merci d'avance

Framy

Posté par framixone (invité)re : Suite Série et constante d Euler 02-12-05 à 11:29

bonjour elhor_abdelali,

je ne comprends pas comment tu passes d'une égalité à l'autre sur ta première ligne (pour les ln²)

merci
framy

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Suite Série et constante d Euler 03-12-05 à 02:07

Bonsoir;
3$a^2-b^2=(a-b)(a+b)


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