Bonjour

L'inégalité : u_2n - u_n 1/2

signifie que la suite n'est pas de Cauchy, donc, elle diverge.

Comme elle est croissante ...

Mais cela suffit comme justification? C'est juste que sinon ça me parait trop rapide comme question.. (Hum, c'est quoi une suite de Cauchy?)

Regarde sur ton cours la définition d'une suite de Cauchy.

Je ne pense pas l'avoir c'est bien ça qui m'inquiète... Mais merci de ton aide en tout cas

L'exercice que tu proposes est souvent utilisé comme illustration du théorème de Cauchy.

Maintenant tu peux aussi dire que si la suite convergeait vers L tu aurais :



Ce qui contredit l'inégalité de ton énoncé.

ou bien encore que
si Un = a
alors U2n a+1/2
      U4n a+2.(1/2)  etc ...

donc U =

Hum Donc pour la méthode de raymond, c'est un raisonnement par l'absurde en fait, c'est ça?
Et ta méthode à toi GGenn, c'est plus une explication qu'une justification, non?
En tout cas merci à vous deux.
Je peux encore vous dérangez un peu?..
Après dans l'exo, ils demandent d'en déduire la nature de
Un=(k=1 à n) 1/k^a           où a<0
Comme si a=1, (Un) diverge en +, je peux en déduire que pour a<0, elle divergera également? Ce serait aussi en +, non?

C'est avec a<1 désolé

si a<1 alors , pour k , k^a k

donc 1/k^a 1/k

et je pense que tu as déjà vu les théorèmes justifiant que les suites sont convergentes ou divergentes par comparaison,

tu vois ce que je veux dire ?

excuse moi, pour ta question de 20:47
c'est effectivement une explication qui devient justification dès lors que l'on prend la peine de dire que la suite (U_n) est une suite qui vérifie la propriété suivante :
pour tout n , U_n V_n
avec la suite (V_n) suite dans laquelle, lorsque les indices suivent une suite géométrique de raison 2 et de 1er terme 1 alors les termes correspondants suivent une suite arithmétique de premier terme U₁ et de raison 1/2
comme chacun sait une raison >0 => une limite
donc la suite (V_n) diverge vers +   et, comme (U_n) majore (V_n), alors (U_n) diverge vers +

Une suite de Cauchy, les termes doivent être indépendants non ?
Je veux dire si on a par exemple u_2n-u² < e

On peut pas dire que u_n est convergente non ?

u_2n-u_n pardon

les conditions sont nécessaires ou suffisantes ou les deux ...
En l'occurence, ta suite n'est pas de Cauchy ...mais on se fout de Cauchy ici

elle remplit des conditions du genre U_n+1 > U_n + 0,1  et ç a suffit a la rendre divergente vers l'

un petit rappel ou une petite reprise de cours si tu permets

assimile une suite U_n  à la restriction aux entiers d'une fonction U(n)
la convergence de la suite revient , en fait , à savoir si la courbe de U possède ou non une asymptote horizontale en +
la divergence nie l'asymptote   (P.A.C.   il n'y a pas que l' qui le nie, les sinusoides n'ont pas d'asymptotes car pas de limites !!!)

pour avoir une asymptote il faut que la pente tende vers 0 lorsque x tend vers l' mais ce n'est pas suffisant (exemple la fonction ln)
si la pente ne tend pas vers 0 alors ... bernicle!! ... pas d'asymptote horizontale !!!

si une fonction tend vers + et qu'on a une autre fonction qui luyi est su^périeure alors l'autre aussi tend vers +  ... LOGIQUE , NON ???
C'est le critère de comparaison pour les suites

le théorème des suites adjacentes est comparable au théorèmes des gendarmes

Cauchy est bien plus costaud que ça

Huh... Woh... Alors le rappel de cours : oui carrément logique, pas de problème.
Ensuite sur Cauchy, j'ai toujours pas vu le rapport, alors si c'est pas indispensable je crois que je vais m'en passer pour le moment...
Enfin GGenn, pour ta réponse postée à 1:00 (Eh beh... Oiseau de nuit?..) merci beaucoup, avec les égalités devant les yeux c'est vrai que c'est logique ! =)
Grâce à toi j'ai pu avancer =) Je bloque cependant sur un raisonnement par récurrence... (Honte sur moi, je sais !)
Je dois déduire que du fait que 1/p^a + 1/(p+1)^a 2/p^a (que j'ai déjà prouvé) que pour tout n de *, U2n+11+ Un/2^(a-1) par récurrence sur n (avec a > 1 cette fois, et Un=(k=1 à n) 1/k^a)
L'initialisation se fait sur le rang 1 je suppose...
Ca donnerait U3 1  +  U1/2^(a-1)
Or 1 + Un/2^(a-1)= 1 + 2Un/2^a Et U3=1/3^a + 1/2^a +1 De la relation précédente, on déduit U3 1 + U1/2(a-1)... Jusque là ça te parait juste?
Par contre à l'hérédité je bloque... Ca doit être tout bête mais je sais pas quoi faire de mon inégalité..

désolé de ne pas pouvoir rester longtemps : nous n'avons que 15 personnes invitées ce soir et c'est moi qui fait la cuisine , alors j'ai une après-midi chargée

pour la récurrence il faut
1/  l'initialisation   -> la vérification que la propriété est vraie au rang 0 ou 1
2/  l'hérédité et c'est là que ça se corse pour les débutants car il faut avoir percuté que tu cherche à montrer une proposition au rang n

il faut donc
écrire clairement la proposition P(n)  avec une phrase mathématique (sujet, verbe, complément)
bien voir le lien entre n et P(n) !!!
écrire P(1) ou P(0) et vérifier si cette phrase est vraie ou pas   (c'est l'initialisation)

écrire clairement P(k) et P(k+1) puis montrer que P(k) => P(k+1)
et c'est là que les gens coincent car ils ont du mal à lier les sujets_k avec les sujets_k+1  et les compléments_k avec les compléments_k+1
généralement on s'en sort quand même pas trop mal...

je reviendrai plus tard dès que j'aurai un trou pour souffler
écrit moi ce que tu obtiens et si d'autres veulent t'aider, isl sont les bienvenus

de retour pour 3 minutes ....
P(n) est  U_2n+1 1 + U_n/2^a-1

tu dois le montrer pour n1
donc ...
initialisation
P(1) est-elle vraie ?  id est   U₃ 1 + U₁/2^a-1  est-elle vraie ?

U₃ = 1 +1/2^a +1/3^a
D'après la relation R que tu as prouvé  1/2^a + 1/3^a 2/2^a = 1/2^a-1 = U₁/2^a-1
donc P(1) est vraie car vérifiée

L'initialisation n'est qu'une vérification !!!

Hérédité

P(k) est U_2k+1 1 + U_k/2^a-1
tu le supposes vrai car tu vas t'en servir pour montrer P(k+1)
P(k+1) est U_2k+3 1 + U_k+1/2^a-1

sujet, verbe, complément

sujets   U_2k+1  et U_2k+3  =  U_2k+1 + 1/(2k+2)^a +1/(2k+3)^a

d'après la relation R
U_2k+3 U_2k+1 + 2/(2k+2)^a

or 2/(2.(k+1))^a  = 2/(2^a.(k+1)^a) = 1/(2^a-1.(k+1)^a)

il nous reste à utiliser P(k) pour dire que U_2k+1 1 + U_k/2^a-1

et donc conclure que
U_2k+3 1 + U_k/2^a-1 +(1/(k+1)^a)/2^a-1
et à remarquer que les 2 derniers termes forment U_k+1/2^a-1   pour obtenir que U_2k+3 1 + U_k+1/2^a-1 et donc conclure que P(k+1) est vrai dès lors que P(kj) est vrai
c'est à dire que l'hérédité est prouvée

Comme l'hérédité est prouvée et que l'initialisation à 1 est vérifiée, alors la propriété est vraie pour tout entier 1..
Facile, non ???

LE plus dur est de bien écrire P(n)

Oh! Merci! Tu as du mettre du temps à taper tout ça en plus, j'espère que t'es pas trop en retard sur tes préparatifs >< 15 personnes ça commence à faire! J'aurais eu beaucoup de mal à faire l'hérédité sans toi... Merci beaucoup =)