Soit u : E (ton  espace topologique codenombrable)  une suite qui converge vers a E.

Si u n'est pas stationnaire il existe une sous-suite v de u telle que v(n) a pour tout n . Comme E \v() est un ouvert contenant a et que v a , c'est largement contradictoire .

Bonjour.
Je n'arrive pas à montrer que dans une topologie codenombrable, une suite est convergente si et seulement si elle est stationnaire. Merci

Bonjour 656820704.
La première chose que tu devrais faire, c'est d'écrire explicitement ce qu'est une topologie codénombrable sur E :

La topologie codénombrable sur E est

(NB : Ce qui implique en particulier que les parties fermées sont les parties dénombrables ou le vide ou l'espace tout entier.)

Tu considères donc une suite convergente dans E avec cette topologie. Soit x une de ses limites (oui ! il peut y en avoir plusieurs à priori)

Tu considères alors la partie suivante : .

Vérifie que O est un ouvert de E et qu'il contient la limite de la suite.
Donc, comme la suite est convergente, il est censé contenir toute la suite à partir d'un certain rang.
Vérifie alors qu'à partir d'un certain rang on a forcément .

Remarques :

- Si E est un espace au plus dénombrable, la topologie codénombrable est P(E)

- La topologie codénombrable sur un ensemble non dénombrable fournit un exemple d'espace topologique non séparé dans lequel les limites des suites convergentes sont uniques.

Bonsoir

***hors sujet***