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Suite tangente pas de limite

Posté par Profil Ramanujan 12-09-23 à 11:41

Bonjour,

On admet l'irrationalité de \pi. Le réel \tan n est alors bien défini \forall n \in \N.
Montrer que la suite (\tan n)_{n \in \N} n'a pas de limite.

Montrons que \tan n est bien défini.
Par l'absurde, si il existe k \in \Z tel que : n= \dfrac{\pi}{2}+ k \pi alors 2 \pi =2n - 2k \pi \in (\R \backslash \Q) \cap \Q= \emptyset.

Pour montrer que la suite n'a pas de limite je n'ai pas d'idée.

Posté par
lionel52re : Suite tangente pas de limite 12-09-23 à 11:49

Si tan(n) converge :

tan(2n) a la même limite que 2tan(n)/(1 - tan²(n))
Donc L = 2L/(1-L²)

Si L = 0 alors tan(n) = sin(n)/cos(n)  et sin(n) tend vers ...
Sinon L = ...

Posté par Profil Ramanujanre : Suite tangente pas de limite 12-09-23 à 12:31

Merci mais je n'ai pas bien compris l'idée.

Si \tan n \longrightarrow \ell alors comme : \tan(2n)=\dfrac{\tan n+ \tan n}{1- \tan^2(n)} on en déduit : \ell=\dfrac{2 \ell}{1- \ell^2}

Si \ell=0 alors \sin n= \dfrac{1}{\cos n} \tan n \longrightarrow \ell car (\dfrac{1}{\cos n}) est bornée.
Donc \sin n \longrightarrow 0 c'est absurde.

Je vais réfléchir pour le cas \ell \ne 0.

Posté par
lionel52re : Suite tangente pas de limite 12-09-23 à 12:40

"1/cos(n) est borné"
"sin(n) = tan(n)/cos(n)"

Faut que tu dormes Ramanujan là c'est pas possible
Pourquoi sin(n) ne converge pas?

Posté par Profil Ramanujanre : Suite tangente pas de limite 12-09-23 à 15:42

Comment on démontre que (1 / \cos n) n'est pas bornée ?
Je ne vois rien d'évident.

On a \tan n= \dfrac{ \sin n}{ \cos n} donc \sin n= \tan n \times \cos n

Si \tan n \longrightarrow 0 alors \sin n \longrightarrow 0.

Je ne connais pas la limite de (  \sin n).

Si \ell \ne 0 alors 1-l^2=2 donc l^2+1=0 ce qui est impossible le polynôme X^2+1 n'a pas de racines dans \R.

Posté par
lionel52re : Suite tangente pas de limite 12-09-23 à 16:02

La convergence de la suite (sin(n)) est un exo très classique de première année de prépa, et un exo que tu as sûrement déjà fait 50 fois

1/cos(n) n'est pas bornée car tu as aussi du voir mais c'est beaucoup plus dur que cos(n) est dense dans [-1,1]

Bon bref, on retourne 5 ans en arrière avec toi

Posté par Profil Ramanujanre : Suite tangente pas de limite 12-09-23 à 17:04

Une preuve que j'ai inventée, j'en ai trouvées d'autres qui n'utilisent pas la densité sur le net.

On admet que A=\{ \sin (n) \} est dense dans [-1,1].

Si la suite \sin n converge vers \ell, soit x \in [-1,1] tel que x \ne \ell.
Si on choisit \varepsilon >0 assez petit de sorte que x \notin [\ell-\varepsilon, \ell+\varepsilon], on obtient une contradiction.
En effet, il existe une suite d'éléments de A qui converge vers x, et comme (\sin n), toutes les suites d'éléments de A convergent vers \ell.

Posté par
jandri Correcteurre : Suite tangente pas de limite 12-09-23 à 17:10

Bonjour,

on peut montrer directement (sans passer par sinus) que \lim \tan(n)=\ell donne une contradiction en écrivant \tan(n+1)=\dfrac{\tan(n)+\tan(1)}{1-\tan(n)\tan(1)}

Posté par Profil Ramanujanre : Suite tangente pas de limite 12-09-23 à 20:34

Oui le fait que ( \sin n) diverge n'est pas un résultat de cours de sup... Si l'exercice voulait nous faire passer par cette méthode, il y aurait certainement eu une question 1) où il faut démontrer que cette suite diverge.

Jandri
Merci.
Supposons que \tan n \longrightarrow \ell \in \R
En passant à la limite, on obtient : \ell=\dfrac{ \ell+ \tan (1) }{1- \ell \tan (1) }
Soit \ell (1- \ell \tan(1) )=\ell + \tan (1)
Donc : - \ell^2 \tan (1)= \tan (1)
Comme \tan(1) \ne 0 : \ell^2=-1
Ce qui est impossible car ( \tan n) est une suite à valeurs réelles.

Mais que se passe t-il si \ell= \pm \infty ?

Posté par
lionel52re : Suite tangente pas de limite 12-09-23 à 20:46

Dans ce cas trouve un équivalent de tan(n+1)

Posté par
Ulmierere : Suite tangente pas de limite 12-09-23 à 20:46

Etudie le signe du membre de droite quand l \to \pm\infty

Posté par Profil Ramanujanre : Suite tangente pas de limite 12-09-23 à 21:03

La signe de la tangente change tout le temps si on ne se restreint pas à ]- \dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2} [, je n'ai pas compris la méthode d'étudier le signe du membre de droite.

Je n'ai pas compris la méthode de l'équivalent.

Posté par Profil Ramanujanre : Suite tangente pas de limite 12-09-23 à 21:12

\tan x \sim x au voisinage de 0.
Ici on est au voisinage de + \infty.

Posté par
lionel52re : Suite tangente pas de limite 12-09-23 à 21:21

Tu peux trouver la limite de (exp(x)+17)/(exp(x)-3) en +inf?

Posté par Profil Ramanujanre : Suite tangente pas de limite 12-09-23 à 21:35

\dfrac{e^x+17}{e^x-3} \sim \dfrac{e^x}{e^x} \sim 1

Donc la limite de ce quotient vaut 1 au voisinage de + \infty.

Ici supposons que \tan n \longrightarrow \pm \infty.

Comme \tan (n+1)= \dfrac{ 1 + \tan (1) / \tan (n) }{1/ \tan n - \tan (1) } \longrightarrow - \dfrac{1}{\tan(1)}

Donc \boxed{\tan (n+1) \sim  - \dfrac{1}{\tan(1)}  }

Ce qui donne une contradiction car on obtient une limite finie alors que l'hypothèse donne \tan (n+1) \longrightarrow \pm \infty.

Sinon, quel est l'intérêt de savoir le signe du membre de droite ? Le membre de droite est négatif au voisinage de plus/moins l'infini.
Mais comment conclure ?

Posté par Profil Ramanujanre : Suite tangente pas de limite 12-09-23 à 23:18

Ulmiere @ 12-09-2023 à 20:46

Etudie le signe du membre de droite quand l \to \pm\infty


Cette méthode permet de conclure pour \ell = +\infty mais pas pour \ell= - \infty.


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