Bonjour,
j'ai un exercice à réaliser, dont voici l'énoncé.
On a une suite (Un) définit par:
U0= (1/2)
U(n+1)=Un-Un² (seul le dernier Un est au ²)
1)Etudier la monotonie de la suite
2. Prouver que la suite est minorée par 0
3. En déduire que (Un) converge et calculer sa limite
Voici ce que j'ai fait pour l'instant:
1. On étudie le signe de Un+1-Un. On a Un+1-Un = -Un² <0 (la fonction -x² étant strictement négative), on arrive à Un+1 - Un < 0 donc Un+1 < Un. On peut conclure qu'Un est décroissante.
2.C'est cette question qui me pose problème. J'avais d'abord pensé à utiliser le raisonnement par récurrence, on doit montrer que Un+1 >= 0, mais même en utilisant l'expression d'Un+1 et en partant du principe de récurrence (Un >= 0), je n'arrive pas à mes fins.
J'ai donc pensé à utiliser l'absurde, Un minorée par 0 signifie Un >= 0, je suis donc parti du principe que Un n'était pas minorée par 0 soit: Un =< 0, pour arriver à une aberration mais, une fois de plus, je n'arrive à rien.
3. pas de problème pour cette question, Un est décroissante et minorée donc converge, on pourra montrer facilement que la limite est 0.
J'attends donc votre aide pour résoudre la 2ème question, merci d'avance.
Bonjour,
Tu sas déjà que Un+1 < Un
Suppose maintenant qu'on ait 0 < Un < 1, ce qui est bien le cas pour les premiers termes.
Tu as :
Un+1 = Un-U²n = Un(1-Un)
Un > 0
Un < 1 => 1-Un > 0
Donc Un+1 > 0
Et donc :
0 < Un+1 < Un
Et une bonne idée est toujours de regarder graphiquement comment évolue la suite, connais-tu ce procédé ?
LeHibou, si j'ai bien compris, tu pars du principe que puisque (Un) est décroissante, elle est majorée par son premier terme, qui est 0,5, et donc si elle est inférieure à 0,5 elle est forcément inférieure à 1 ?
Ensuite c'est un raisonnement par récurrence ?
Oui je connais ce procédé, bien sûr, d'ailleurs si tu as utilisé le logiciel Maxima pour obtenir ce résultat, peux-tu me dire quel syntaxe tu as utilisé ? Car je débute avec ce logiciel.
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