Niveau Maths sup

suiter écurente

Posté par nick (invité) 19-01-05 à 18:37

Bonjour.
Comment réaliser l'étude d'une suite récurntre $U_{n+1}=$ f( $U_n$ )Je veux dire que j'ai en fait en exercice $U_{n+1}$ = $sin(U_n)$
on par de U $_1$ ds ]0,pi[, le signe de f(x)-x est contant sur l'intervallen mais f croit et décroit, je voudrais savoir s'il y a une méthode général à appliquer ds ces cas là..

Posté par re : suiter écurente 19-01-05 à 22:40

$\forall x \in [0 ,\pi]\;\; \sin(x)\le x$

donc $u_{n+1}=\sin(u_n) \le u_n$

la suite $$u_n$_{n\in {\mathbb N}^*}$ est donc décroissante.

La monotonie de $\sin$ n'est pas utile.

En revanche, la positivité de $\sin$ sur $[0 ,\pi]$ permet de dire que $$u_n$_{n\in {\mathbb N}^*}$ est minorée par 0 donc convergente.

$\sin$ étant continue d'une part, la seule valeur $l$ pour laquelle $sin(l)=l$ étant 0 d'autre part,
$\red \lim_{n \to \infty} u_n = 0$

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