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suites

Posté par massari (invité) 03-01-07 à 11:12

   bonne année atous le monde   jai un petit exo,  
Un 1/n+1/(n+1)+1/(n+2)+......+1/(n+n)
  demontrer que pour toout n1  on a
(n+1)/(n+n)Un(n+1)/n

svp help me

Posté par
lyonnaisre : suites 03-01-07 à 11:23

Bonjour massari

\Large{U_n = \frac{1}{n+\sqrt{0}} + \frac{1}{n+\sqrt{1}}+\frac{1}{n+\sqrt{2}} + ... + \frac{1}{n+\sqrt{n}} = \sum_{k=0}^n \frac{1}{n+\sqrt{k}}

Or :

\Large{\forall k \in [|0,n|], n \le n+\sqrt{k} \le n + \sqrt{n}}

donc :

\Large{\forall k \in [|0,n|], \frac{1}{n + \sqrt{n}} \le \frac{1}{n+\sqrt{k}} \le \frac{1}{n}}

reste à sommer de k = 0 à n

\Large{\sum_{k=0}^n \frac{1}{n+\sqrt{n}} \le \sum_{k=0}^n \frac{1}{n+\sqrt{k}} \le \sum_{k=0}^n \frac{1}{n}}

soit :

\Large{\fbox{\frac{n+1}{n+\sqrt{n}} \le U_n \le \frac{n+1}{n}}}

Romain

Posté par
lyonnaisre : suites 03-01-07 à 11:28

N'hésites pas à poser des questions ...

Posté par massari (invité)re : suites 03-01-07 à 11:46

merccccci beaucoup  et bonne année a toi   mercccci  

Posté par
lyonnaisre : suites 03-01-07 à 11:47

je t'en prie

Bonne année à toi aussi

Posté par massari (invité)re : suites 04-01-07 à 11:25

hello  lyonnais  bonjours  vous pouver me dire pourkoi t a fait
1/(n+n)1/(n+k)1/n
et  tu fait
soit (n+1)/(n+n)Un(n+1)/n
j ai pas compris   svp

Posté par
lyonnaisre : suites 04-01-07 à 11:31

pas de problème

\Large{\sum_{k=0}^n \frac{1}{n+\sqrt{n}} \le \sum_{k=0}^n \frac{1}{n+\sqrt{k}} \le \sum_{k=0}^n \frac{1}{n}}

Or dans la somme de gauche et dans la somme de droite, ça ne dépend pas de l'indice k donc on a :

\Large{\frac{1}{n+\sqrt{n}}(\sum_{k=0}^n 1) \le \sum_{k=0}^n \frac{1}{n+\sqrt{k}} \le \frac{1}{n}(\sum_{k=0}^n 1)}

soit :

\Large{\frac{1}{n+\sqrt{n}}(n-0+1) \le \sum_{k=0}^n \frac{1}{n+\sqrt{k}} \le \frac{1}{n}(n-0+1)}

finalement :

\Large{\fbox{\frac{n+1}{n+\sqrt{n}} \le U_n \le \frac{n+1}{n}}}

Romain

Posté par
infophilere : suites 04-01-07 à 11:37

Salut romain

Je ne comprends pas la notation 4$ \sum_{k=0}^{n}1, tu peux m'expliquer rapidement ?

Posté par massari (invité)re : suites 04-01-07 à 11:39

merci beaucoup lyonnais  thanks

Posté par
lyonnaisre : suites 04-01-07 à 11:43

Salut Kevin

Euh pas en fait :

4$ \sum_{k=0}^{n}1

veut dire que tu sommes (n+1) fois le chiffre 1 ! Donc ça fait n+1

:D

Ok ?

de rien massari

Posté par
infophilere : suites 04-01-07 à 11:44

Ah ok

Merci


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