bonjour,


j'ai une idée:

-1cos(nx)1

donc cos(x) est convergente puisqu'elle converge vers deux réels 1 et -1
or ceci est vraie sur R donc S=R

Bonjour, moriar c est quoi pour toi une suite convergente?
pour , on a une suite qui fait (1,-1,1,-1,...) et qui n est certainement pas convergente.

d'autre part si une suite reelle converge elle n a qu'une seule limite

bon j'ai peut etre fait une erreur.
euh.... il faut que je me remmette a travailler un peu!!!!!car c'est bientot plus les vacances. allez je vais bosser!

oué j'avais pensé a encadré cos(nx) mé sa marche pas
ya kavec 2 PI ou des truc dans le genre

Bonjour,

déja si x=2kpi, on a cos(nx)=cos(0)=1 donc la suite est constante.

Maintenant je te propose d'étudier les cas suivants:

1)

2)

merci bien
je vais voir ça.

On montre que si () alors la suite est divergente. En effet, par l'absurde, on adapte très facilement ma démonstration de divergente.
Les 2 cas que distingue Cauchy ne servent que pour une étude plus fine du comportement de la suite : périodique pour 1), équirépartie dans [-1,1] (donc en particulier avec toutes les valeurs de [-1,1] qui sont valeurs d'adhérence de la suite) pour 2).

Oui Dremi effectivement, j'avais cela en tête(pour le fait que [-1,1] est l'ensemble des valeurs d'adhérence on le fait avec les sous-groupes de R, pour l'équirépartition tu procèdes comment?)

Bonjour, cet exercice m'interesse aussi, donc suite au conseil de Dremi, j'ai tenté de toruver une demonstration au probleme et j'aimerai savoir si celle ci tient la route !

on suppose x0 et que cos (nx) converge vers une limite l.
Alors avec y_n tel que = +, et en posant : f(n) = cos(nx), on a : = l.
( f(yn) = cos(xy_n) )

Ensuite on prend y_n = (n)/(2x) pour montrer que l = 0
puis avec y_n = (2n)/x pour montrer que l = 1 et aboutir a une contradiction.

Et la reponse au probleme est x = 0.

Je suppose que l on dot utiliser la meme technique si on veut resoudre le probleme avec le sinus au lieu du cosinus.
Merci d'avance !

(rectification, la reponse serait x = 2k, avec k (x congru a 0 modulo 2 )

Et si x = 3Pi/2 + 2kPi, il me semble que la suite est identiquement nulle, et donc elle ne diverge pas.

non ?

oui mais 3/2 + 2k = 2K avec K = k+3/4 donc on s y retrouve.

merci bien tout le monde!!

gayzou,

??????

Quand on écrit 2K.Pi, c'est avec K dans Z et donc pas question que K = k + 3Pi/4 avec K et k dans Z.

Ou alors je n'ai pas compris ta dernière intervention.

Il y a au moins 2 familles de solutions:

x = 3Pi/2 + 2kPi (avec k dans Z)
et
x = 2kPi (avec k dans Z)

oups, autant pour moi ! Il y a donc une erreur dans ma démonstration !

c'est dommage l'idée de gayzou est bonne mais je ne vois pas comment feire pour montrer qu'il y a une 2eme famille de réponse
et même mieux, comment montrer les 2 en même temps
si quelqu'un a une idée...

Non J-P, si x=3Pi/2, la suite (cos(nx)) diverge car si ses termes impairs sont nuls, ses termes pairs sont alternativement égaux à +1 et -1.

Juste Dremi.

Bonjour à tous ,

Gayzou, ton raisonnement est intéressant mais malheureusement je pense qu'il y a une erreur avec ta suite (yn).

J'ai l'impression que pour que ton raisonnement soit juste, il faut que ce soit une suite d'entiers, ce qui n'est pas le cas des deux suites que tu utilises pour obtenir ta contradiction (sauf dans des cas particuliers, par exemple quand x est une fraction de ).

Sinon, pour ma part, je pense que cela marche sans problème avec la méthode proposée par Cauchy, à condition d'avoir vu un théorème sur les sous-groupes de (R,+) qui affirme que ceux-ci sont de la forme aZ ou alors sont denses dans R ainsi qu'un autre théorème disant que si a et b sont incommesurable, ie a/b est irrationnel, aZ + bZ est dense (2 théorème que j'ai vu en SPE pour ma part).

Ces deux théorèmes servent dans le cas où x/ est irrationnel.

Si au contraire x/=p/q est rationnel, on montre que la suite est périodique de période T divisant q, et une suite périodique ne converge que si elle est constante. Avec ca, tu arrives à montrer que forcément x/ est entier, et il reste à séparer les cas pairs et impairs.

Voilà, cependant, si tu est encore en Sup, par exemple, c'est sans doute pas comme ça qu'il faut faire.

J'espère que cela pourra t'aider .

A bientôt

snoopy80,
la seule famille de réponse est .
L'idée de gayzou est fausse parce que dans sa composition, doit être à valeurs entières.
La démonstration que j'évoquais plus tôt se fait par l'absurde avec la formule du développement du cosinus d'une somme.
Soit . Supposons que converge vers . Alors les suites extraites convergent aussi vers . Or d'une part,
,
ce qui implique par passage à la limite:

D'autre part,
,
ce qui implique par passage à la limite:

Il en résulterait ce qui est absurde.

je ne comprends pas pourquoi (yn) doit etre à valeurs entières?
si quelqu'un veut bien m'expliquer..
je sais que la démo de gayzou ressemble à se qu'on avait fait pour montrer que cosinus diverge.
Merci d'avance

Superbe démo, enfin à mon avis en tout cas . Et courte en plus !

J'essayerais de m'en souvenir de celle-là

En fait ce que semble utiliser gayzou, c'est que si une suite converge, alors chaque suite extraite converge aussi et est de même limite, mais si (yn) n'est pas à valeurs entières, ce n'est pas une suite extraite, et donc le résultat est faux.

Par exemple, cos(2n) converge vers 1 mais si tu prends (yn)=n/2, il est clair que cos(yn.2)=cos(n)=(-1)ⁿ diverge.

Dans ma tentative de demonstration je faisais juste la limite d'une composée de fonctions, donc je ne vois pas pourquoi y_n (qu on peut voir comme une fonction plutot qu'une suite)) doit etre a valeurs entieres.
J'avouerai que j'ai un peu de mal a comprendre mon erreur (je sens que la rentree va etre dure pour moi !)

L'erreur, c'est qu'une suite est une fonction à variable entière donc il suffit de considérer les ensembles de départ et d'arrivée de la composition pour voir le problème.

Je repose ma question qui est peut être passée inaperçue, comment procède-t-on pour l'équirépartition?

Le résultat d'"équirépartition" est:
(=diamètre de l'intervalle [a,b] pour la distance ).
En passant en et en posant
et
on a pour ,

Bref on s'est ramené à l'équirépartition classique:

Merci

_{Cauchy, tu as encore accès à internet ? les colles commencent bientôt}

Je t'ai répondu par mail, non je vais que rarement sur le net(une petite demi-heure le lundi midi c'est tout ).

mail lu, je suis at home