Bonsoir

On considère la fonction f : x -> x+sin(x)

On dérive :
f'(x)=1+cos(x) qui est strictement positive donc f est croissante.

De plus f(0)=0 et f(2pi)= 2pi

Montrons alors par récurrence que (Vn) est dans ]0;pi[
Pour V0 c'est réglé.

Supposons que 0 < Vn < 2pi
Par croissance de f on a donc f(0) < f(Vn) < f(2pi) ie 0 < V(n+1) < 2pi.

(Vn) est donc bornée.

V(n+1)-V(n)=sin(Vn) qui est positif lorsque V0 est dans ]0;pi[ et négatif lorsque V0 est dans ]pi;2pi[

Si v0 est dans ]0;pi[ (Vn) est croissante donc convergente. Elle converge vers un point fixe de f.
f(x)=x <=> sin(x)=0 On a donc 3 solutions dans ]0;2pi[ : x=0, x=pi, x=2pi

Il est clair que si V0 est dans ]0;pi[ alors (Vn) aussi donc la limite ne peut être que 0 ou pi. Comme la suite est croissante ça ne peut être que pi.

On adopte le même raisonnement pour V0 dans ]pi;2pi[ et on obtient comme limite pi.

Au final quelque soit la valeur de V0, (Vn) converge vers pi.

Merci beaucoup NIghtmare !!

En fait il fallait borner la suite et en deduire la limite selon Vo.

Merci et puis bonne soirée