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Suites
Enoncé:
" Pour tout entier n>0, on considère la fonction fn:R+ ->R définie par fn(x)=x^n-(1-x)².
1) Dans cette question l'entier n>0 est fixé
a)La fonction fn est-elle strictement monotone?
b)Montrer qu'il existe un unique \alpha n appartenant à ]0;1[ tel que fn(\alpha n)=0.
c)Quel est le signe de f(n+1)(\alpha n)?
2) On considère la suite de terme général \alpha n.
a)Montrer à l'aide de la question précédente que la suite (\alpha n) est croissante.
b)En déduire que la suite (\alpha n)est convergente. On notera \alpha sa limite.
c)Supposons \alpha <1.
i)Montrer qu'alors lim((\alpha n)^n)=0.
ii)A l'aide de la relation fn(\alpha n)=0, en déduire que (1- \alpha)=0. Conclure "
J'ai réussi toute la 1) mais la 2) je bloque.
Merci de m'aider.
salut,
ok-
qu'est-ce que tu as donné comme réponse à la 1) c) ?
2) posons
2 a) il me faut la 1 c)
2) b) la suite est bornée et monotonne donc convergente, notons a la limite de cette suite.
2) c) a <1 or est croissante et
donc
donc pour tout n
or a<1 => lim(n->+oo) = 0 => lim(n->+oo)
= 0
D.
Bonsoir.
Un petit mot sur la partie 1°).
¤ On doit te demander la monotonie de fn uniquement sur [0,1]
¤ Tu as dû trouver :
2°).
a). Par définition : .
Comme fn+1 est croissante sur [0,1],
signifient que :
. Donc la suite
est croissante.
b). La suite est croissante et majorée par 1,
donc converge vers une limite a < 1.
c). On a, pour tout n > 0,
Supposons , alors :
(majoration par une suite géométrique de raison a < 1).
Donc, d'après (I) : (1-a)² = 0 et a = 1.
Il y a contradiction, donc : a = 1
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