Bonjour

Le plus simple c'est de vérifier par récurrence la relation que l'on te donne.

*** message déplacé ***

Bonjours,
Excuse moi, j'ai peut être répondu sur l'autre Topic mais sincèrement je n'arrive pas à maitriser encore comment s'organiser sur le site.

oui c'est juste par récurrence. Mais ce que je veux c'est savoir pouquoi le résultat c'est: n(n+1)2n+1)/6?
j'ai essayé de le démontrer mais en vain. Merci au moins de me dire le nombre de termes et ...et je trouverais. Merci d'avance.

Pour camélia,
Je vais m'absenter pour un moment RDV tout à l'heur et merci .

On a bien



On suppose que
Alors

et je te laisse vérifier que ceci est égal à

Merci camélia pour la réponse. Mais nous ne sommes pas bien compris je pense.
par récurrence, c'est bon. Je n'ai pas de problème mais merci qd même.
Ce que je cherche une démonstration pour l'égalité cité.
Je m'explique:
S = U1+ U2 +.......Un et on peu écrire S= Un+Un-1......U1
Par addition: 2S=(u1+Un)+(u1+Un)...........+(U1+Un)
                         n fois
d'où S = nbre de termes * (U1 + Un)/2
Or le nbre de termes = n
U1 = 1  et un n
ainsi S = n(n+1)/2
donc je voudrais savoir comment de la même manière on trouve:
1^2 + 2^2 .......n^2 = n(n+1)(2n+1)/6.
Je pense que ma question est claire. Merci de votre aide.

Bonjour.

Avec la suite 1² + 2² + ... + n², tu vérifies qu'en l'écrivant à l'envers et en ajoutant, tu ne trouves pas une somme constante comme pour la suite 1 + 2 + ... + n.
Donc, cette méthode n'est pas applicable pour la somme des carrés.

Bonjours,
Effectivement, l'exemple que j'ai donné juste pour me faire comprendre que la formule par récurrence est vérifié mais moi je veux comment on est arrivé à écrire cette relation de n(n+1)(/2n+1)6.
En plus , si la méthode de la somme des carrée n'est pas applicable il ya surement une manière pour démontrer cette relation.
Je fais confiance à votre compétence pour m'aider à trouver comment on démontre cette somme des carrés. Merci .
Je vous dis à plus tard et à très bientôt. On m'appelle.Merci pour tout ce que  vous nous apprenez vos autres correcteur et je ne doute pas que vous êtes des profs de haut niveau. Merci encore et au revoir.    

Bonjours,
Est-ce que je peux déduire que la somme des carrés qui est égale à
n(n+1)(2n+1)/6 ne se démontre pas ? si oui alors je vais l'admettre et ce n'est pas la peine que je cherche.
sinon  expliquer moi le comment faire  s'il vous plait.Merci.

On cherche un polynôme du troisième degré P(X) = aX³ + bX² + cX + d tel que :

X² = P(X+1) - P(X). (I)

Un calcul par identification donne

P(X) = X³ - X² + X = X(X-1)(2X-1)

Alors, on remplaçe successivement X par 1, 2, ... , n dans (I):

1² = P(2) - P(1)
2² = P(3) - P(2)
.
.
.
n² = P(n+1) - P(n)

Puis on ajoute toutes ces égalités. Après simplifications, cela donne :

1² + 2² + ... + n² = P(n+1) - P(1).

En faisant le calcul, tu trouveras bien la formule demandée.

Bonjour

on part de

on l'écrit avec x=1, x=2, ... x=n :



on additionne, en simplifiant qu'on retrouve des deux côtés :



on remplace 1+2+3+...+n par n(n+1)/2 et on résout l'équation obtenue :


y'a plus qu'à tout diviser par 3 ...

salut raymond
tu as été plus rapide que moi (et plus efficace)

Bonjour lafol.

Nos deux approches sont différentes, donc matecha trouvera dans nos deux topics de quoi satisfaire sa curiosité.

Bien cordialement RR.

bonjour à toi Raymond ainsi que la fol,
merci pour la réponse; Je viens de la découvrir à l'instant. Je vais la voir et si je n'arrive pas à comprendre je vous fais signe.Et encore merci .Peut être à tout à leur.

Bonjour,
Pour moi,qui ne connait pas, La méthode de lafol me parait plus clair et accessible pour la compréhension. Merci lafol.
Pour ta méthode Raymond, je pense que je ne suis pas à la hauteur, je la trouve géniale mais non évidente. Car pour passer par le polynôme ce n'ets pas donné à
tout le monde sauf au correcteur du site que je salue vivement.
en suite, raymond, si j'ai demandé la démonstration, c'est parce que je donne des cours particuliers et pour moi c'est une connaissance importante au cas où un prof demande aux élèves une éventuelle démonstration.
en tout cas merci beaucoup à toi et à lafol qui,m'a déjà ravi de sa superbe démonstration d'un problème que, à l'époque, même mon neveu qui était en prépas n'arrivait pas  à être explicite sur la question. Il a utilisé l'éventualité que je ne maitrise pas bien d'ailleurs.Merci j'ai besoin de vos conseil je vais vous contacter sur espace prof. A plus et encore merci.    

Bonjour,
je voudrais étudier le convergence d'une suite mais je ne vois pas comment procéder si je n'ai pas Un en fonction de n ?
voilà l'exercice:
soit U0 = 6
Pour tout n entier naturel, Un+1 = 1/4Un - 3
1)Pour étudier la limite de Un vers l'infini, faut-il obligatoirement calculer Un en fonction de n ?
2)Si oui, comment faire ?
U0 = 6; U1 = -1/2; .....Un =1/4Un-1 -3.   Je suis bloqué!
3)Est ce que toutes suites peut s'écrire en fonction de n ?
4)Est ce qu'une suite, si elle n'est pas constante, est:
soit arithmétique
Soit géométrique
Au niveau Terminal S bien sûr.
Merci beaucoup.

Bonjour
si c'est au niveau terminale S, tu peux faire étudier la suite définie par , montrer qu'elle est géométrique (de raison 1/4, mais ça l'élève peut le trouver seul), donc exprimer en fonction de n

ensuite, en additionnant toutes les égalités pour n = 0 à N-1, on en déduit en fonction de N....

cette suite U est "arithmético-géométrique" : un peu arithmétique de raison -3 un peu géométrique de raison 1/4, mais ni l'un ni l'autre

et il existe bien d'autres sortes de suites (exemple : la suite des décimales de pi : 3 1 4 1 5 9 2 etc)

sinon, tu peux aussi lui faire utiliser la fonction f définie par f(x) = (x/4)-3, et étudier par récurrence les variations etc (un graphique avec la représentation de f et la première bissectrice permet de se faire une première idée du comportement de la suite)

bonjour,
pour Un+1 = 1/4Un-3 Avec U0 = 6
comme tu m'as montré, lafol: soit Vn = Un+1 - Un
Vn = 1/4Un - 3  -  1/4Un-1  + 3  = 1/4(Un-Un-1) = 1/4Vn-1
d'où Vn est une suite géométrique de raison 1/4.Merci.
Ensuite,
V0 = U1 - U0
V1 = U2 - U1
.
.
.
Vn = Un+1 - Un
Vn-1 = Un - Un-1   Vn-1 = Un - U0
Un = Vn-1 + U0 or Vn-1 = 4Vn et Un = 4Vn + U0
Comme Vn est une suite géométrique alors Vn = V0(1/4)^n
Donc Un = 4V0(1/4)^n + U0.
Je ne sais pas si je suis dans le bon chemin ou il faut que tu me guide.
Je ne suis pas convaincu de ma démarche car un prof m'a confirmé que
la limites de Un qd n   infin = 4
Donc la suite converge l = 4
Pour le moment je vois pas trop comment trouver l ?
Merci de votre aide et à tout à l'heur. Dans 30 min. merci.

Attention la somme des n lignes donne

donc qui tend vers

Bonjour,
Je tiens à te remercier beaucoup lafol. J'ai compris.

avec plaisir

bonsoir
on continue ici, ce sera mieux que de polluer les topics des autres

Bonsoir lafol,
Je pense que je n'aurais pas dû écrire dans l'autre topic. Encore désolé.

alors sur ce graphique, on a représenté en trait plein f telle que f(x) = -3 +( 4/x ), en pointillés la droite d'équation y=x, et quelques termes de la suite


le graphique suggère de montrer que la suite est décroissante et minorée. on saura alors qu'elle converge, et en faisant tendre n vers l'infini dans la relation u_(n+1) = f(u_n), on aura la limite comme solution de l'équation f(x)=x.

Bonsoir lafol,
Avant tout, je m'excuse encore une fois d'avoir utilisé le topic de l'autre.
Mais sans que je le veuille. Et merci de votre compréhension.
Est-ce que ce topic avait vraiment disparu ou bien c'était quoi?
voilà lafol,
sinon, tu peux aussi lui faire utiliser la fonction f définie par f(x) = (x/4)-3, et étudier par récurrence les variations etc (un graphique avec la représentation de f et la première bissectrice permet de se faire une première idée du comportement de la suite.
La fonction f(x) = x/4 - 3 je peux l'étudier. Mais par récurrence, je ne comprends pas bien.

D'accord, et merci. c'était très rapide.
J'ai compris. Vérifier pour Uo, U1 et supposer que c'est vrai pour Un...
Je vois très bien ce que tu voulais dire par récurrence.
vraiment, merci lafol.Et comme j'espère avoir ta compétence pour pouvoir moi aussi maitriser les maths et aider ceux qui en ont besoin. Tu es une pro.
Je te souhaite une agréable nuit et à bientôt.

bonne nuit à toi aussi