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Suites
Bonjour tout le monde, mes partiels approchant il me faut absolument un exo corrigé sur les suites c'est pour ça que si quelqu'un pouvait se motiver à m'en faire un (dans les grandes lignes) cela serait vraiment sympa...
Voilà un sjet type:
Soit (Un) la suite réelle définie par U0=1 et par la relation de récurrence supposée vraie pour tout n de 
:
Un+1= -7Un-8 / 2Un+1
Nous admettrons que pour tout n, Un
-.5 c'est à dire, que pour tout n de , si on connait Un, le terme suivant Un+1 peut-être calculé à partir de Un, et donc que la suite est bien définie.
1)
a)Montrer que si on suppose que Uk-2 pour tout entier k positif ou nul donné, alors on a également Uk+1-2 (en utilisant le résonnement par l'absurde).
b)A l'aide d'un résonnement par récurrence en déduire que pour tout n de : Un-2
2)Soit la suite (Vn) définie par la suite (Un) par la relation:
Vn= 2Un+1 / Un+2
Démontrer que Vn est une suite arithmétique de raison 2, en déduire l'expression de Vn en fonction de n.
3)Déduire de la suite Vn l'expression de Un en fonction de n.
Merci d'avance pour votre aide.
Enoncé ambigü par son écriture de
Je suppose qu'il s'agit de:
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1)
a)
Supposons que U(n+1) = -2, on aurait:
(-7.Un-8)/(2Un+1) = -2
-7Un -8 = -4Un-2
-3Un = 6
Un = -2 (Or ceci est interdit)
Donc en supposant que U(n+1) = -2, on aboutit à une absurdité.
Par conséquent on doit avoir U(n+1) différent de -2
-----
b)
U(0) = 1 et donc U(0) est différent de -2, par la relation (1), on conclut donc que U(1) est différent de -2.
U(1) est différent de -2 et donc par la relation (1), on conclut donc que U(2) est différent de -2.
U(2) est différent de -2 et donc par la relation (1), on conclut donc que U(3) est différent de -2.
Et ainsi de proche en proche, on conclut que U(n) est différent de -2 pour tout n de N
-----
2)
V(n) = (2U(n) +1)/(U(n) + 2)
V(n+1) = (2U(n+1) +1)/(U(n+1) + 2)
V(n+1) = [2.((-7U(n)-8)/(2U(n)+1)) +1]/(((-7U(n)-8)/(2U(n)+1)) + 2)
Mettre au même dénominateur et simplifier -->
V(n+1) = [2.((-7U(n)-8)+2U(n) +1]/[(-7U(n)-8+4U(n)+2)]
V(n+1) = (-14U(n)-16+2U(n) +1)/(-7U(n)-8+4U(n)+2)
V(n+1) = (-12U(n)-15)/(-3U(n)-6)
V(n+1) = -3(4U(n)+5)/[-3.(U(n)+2)]
V(n+1) = (4U(n)+5)/(U(n)+2)
V(n+1) = (2U(n)+1+2U(n)+4)/(U(n)+2)
V(n+1) = [(2U(n)+1)/(U(n)+2)] + [(2U(n)+4)/(U(n)+2)]
V(n+1) = [(2U(n)+1)/(U(n)+2)] + 2[(U(n)+2)/(U(n)+2)]
V(n+1) = [(2U(n)+1)/(U(n)+2)] + 2
V(n+1) = V(n) + 2
Et donc la suite Vn est une suite arithmétique de raison 2.
Son premier terme est V(0) = (2U(0) +1)/(U(0) + 2) = 1
On a donc: V(n) = 1 + 2n
-----
3)
V(n) = (2U(n) +1)/(U(n) + 2)
V(n).(U(n) + 2) = 2U(n) + 1
V(n).U(n) + 2V(n) = 2U(n) + 1
V(n).U(n) - 2U(n) = 1 - 2V(n)
U(n).(V(n)-2) = 1 - 2V(n)
U(n) = (1-2V(n))/(V(n)-2)
Et avec V(n) = 1 + 2n -->
U(n) = (1-2- 4n)/(1 + 2n -2)
U(n) = (-1 - 4n)/(-1 + 2n)
U(n) = -(4n+1)/(2n-1)
-----
Sauf distraction. 
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