Niveau Maths sup

Suites

Posté par Mayo (invité) 05-09-05 à 21:48

salut voilà je buche quelque peu sur un probleme ayant trait aux suites
Voilà lénoncé

Soient deux nombres réels strictements positifs $u_{0}$ et $v_{0}$ . On définit par récurrence les suites $(u_{n})_{n\geq0}$ et $(v_{n})_{n\geq0}$ en posant pour $n\geq0$ :
$u_{n+1} =\frac{1}{2}[u_{n}+v_{n}]$ et $\frac{1}{v_{n+1}}=\frac{1}{2}[\frac{1}{u_{n}}+\frac{1}{v_{n}}]$
1 Soient a et b deux réels strictement positifs, montrer que l'on a : $\frac{a+b}{2} \geq \frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}$ .Dans quel cas a-t-on l'égalité?
2. On se propose de montrer que les suites $(u_{n})_{n\geq1}$ et $(v_{n})_{n\geq1}$ sont adjacentes.
a) Montrer par récurrence que $v_{n}\leq u_{n}$ pour tout entier $n\geq1$
b) Prouver que la suite $(u_{n})_{n\geq1}$ est décroissante et que la suite $(v_{n})_{n\geq1}$ est croissante.
c) Terminer en montrer que $\lim_{n\to+\infty} u_{n}-v_{n}=0$
3. Déterminer la limite communce des suites $(u_{n})_{n\geq0}$ et $(v_{n})_{n\geq0}$

Pas de problemes pour les questinos 1.a 1.b 2.a
En revanche je ne trouve ni la 2.b 2.c
Si quelquun pouvait m'éclairer sans me donner directement la réponse ce serait gentil
NB : Je viens seulement de passer en pc spé pour les outils a utiliser

Posté par Mayo (invité)re : Suites 05-09-05 à 22:06

bon pour la croissance et la decroissance c'est réglé.

Posté par re : Suites 06-09-05 à 00:34

2)c) on voit que:
$\fbox{\forall n\ge1\\v_1\le v_n\le u_n\le u_1}$ d'où:
*la suite $(u_n)_{n\ge1}$ étant décroissante minorée par $v_1$ converge vers un réel $u$ .
*la suite $(v_n)_{n\ge1}$ étant croissante majorée par $u_1$ converge vers un réel $v$ .
par passage à la limite dans la relation $u_{n+1}=\frac{u_n+v_n}{2}$ on a que
$2$\fbox{u=\frac{u+v}{2}\\u=v}$ et ainsi on a bien $2$\fbox{\lim_{n\to+\infty}u_n-v_n=u-v=0}$
3) on peut remarquer que:
$2$\fbox{\forall n\ge0\\u_{n+1}v_{n+1}=\frac{\frac{u_n+v_n}{2}}{\frac{1}{2}(\frac{u_n+v_n}{u_nv_n})}=u_nv_n}$
la suite $(u_nv_n)_{n\ge0}$ est donc constante de valeur son premier terme ie:
$2$\fbox{\forall n\ge0\\u_{n}v_{n}=u_0v_0}$
par passage à la limite dans cette dérnière relation on voit que la limite commune à $(u_n)$ et $(v_n)$ est $2$\blue\fbox{sqrt{u_0v_0}}$
Sauf erreur bien entendu

Posté par philoux (invité)re : Suites 06-09-05 à 11:53

Bonjour elhor et Mayo

Pour 3) si on ne pense pas à "voir" que (unvn) est constante, y a-t-il un autre moyen pour trouver la limite de (un)=limite (vn) = racine(uovo) ?

Autre question :

Est-il possible, avec ces données, d'avoir une expression de (un) indépendante de (vn), c'est-à-dire sous la forme f(n) ou f(un-1) ?
idem pour (vn)

Merci à l'avance,

Philoux

Posté par re : Suites 06-09-05 à 15:03

Bonjour philoux;
pour voir que $(u_n)$ et $(v_n)$ ont une limite commune on peut ,comme je l'ai montré,se passer du fait que $(u_nv_n)$ est constante mais pour voir que cette limite commune est $sqrt{u_0v_0}$ à mon avis la constance de $(u_nv_n)$ est essentielle.
Est-il possible, avec ces données, d'avoir une expression de (un) indépendante de (vn), c'est-à-dire sous la forme f(n) ou f(un-1)? j'avoue que je ne vois pas comment,je vais y réflechir.

Posté par philoux (invité)re : Suites 06-09-05 à 15:15

Salut elhor

"pour voir que et ont une limite commune on peut ,comme je l'ai montré,se passer du fait que (UnVn) est constante "

Tu parles bien de la question 2c) (u=v) ?

En revanche, si l'élève ne pense pas à examiner (unvn), comme tu l'as fait, peut-on, tout de même, aboutir à racine(u0v0) ?

Philoux

Posté par re : Suites 06-09-05 à 16:01

On peut exprimer $u_{n+2}$ en fonction de $u_{n+1}$ et $u_n$ en effet on a:
$\fbox{v_n=2u_{n+1}-u_n\\v_{n+1}=2u_{n+2}-u_{n+1}\\u_{n+1}v_{n+1}=u_nv_n}$ d'où $\fbox{u_{n+2}=\frac{u_{n+1}^2+2u_{n+1}u_n-u_n^2}{u_{n+1}}\\u_0>0,u_1=\frac{u_0+v_0}{2}>0}$

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