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suites

Posté par
ferenc 27-12-11 à 14:56

Bonjour,
soit (a_n)_{n=0}^\infty,(b_n)_{n=0}^\infty deux suites qui converge respectivement vers a et b. Soit (c_n)_{n=0}^\infty définie par c_{2n}=a_n et c_{2n+1}=b_n. Montrer (avec les \epsilon) que si a=b alors (c_n)_{n=0}^\infty converge.

Voici ma démonstration:
1) Montrons que si a=b, (c_n)_{n=0}^\infty est de Cauchy.
Soit \epsilon>0
Comme (a_n)_{n=0}^\infty,(b_n)_{n=0}^\infty convergent vers respectivement vers a et b, \exists N:|a_n-a|<\frac{\epsilon}{3} et |b_m-b|<\frac{\epsilon}{3} si n,m>N. Donc |c_{2n}-a|<\frac{\epsilon}{3} et |c_{2m+1}-b|<\frac{\epsilon}{3} si n,m>N.
Ainsi, |c_{2n}-c_{2m+1}|\leq|c_{2n}-a|+|a-b|+|c_{2m+1}-b|.
Puisque a=b on a que |a-b|<\frac{\epsilon}{3}.
Ainsi, si n,m>N, on a que |c_{2n}-c_{2m+1}|<\epsilon.
Et donc en posant M=2N+1, on a que |c_n-c_m|<\epsilon,\forall n,m>M
ce qui montre que (c_n)_{n=0}^\infty est de cauchy et donc convergente

Posté par
ferencre : suites 27-12-11 à 14:56

cela vous semble juste ?
merci,

Posté par
Camélia Correcteurre : suites 27-12-11 à 15:03

Bonjour

Qu'est-ce que tu peux compliquer! Remarque ce n'est pas faux...

Puisque a=b, les deux suites convergent vers a. On choisit \varepsilon > 0. Il existe N tel que pour n > N on ait |a_n-a| < \varepsilon. Et il existe M tel que pour n > M on ait |b_n-a| < \varepsilon. Soit P=Sup(2N,2M+1). Soit n > P. Si n est pair, on a n=2k avec k > n, donc |c_n-a|=|a_{2k}-a| < \varepsilon. Je te laisse écrire le cas impair!

Posté par
ferencre : suites 27-12-11 à 15:13

oui c'était en effet ma première démonstration, je voulais juste utiliser les suites de cauchy sur ce problème !! mais puisque vous me donner votre approbation, mission accomplie ^^

Posté par
Camélia Correcteurre : suites 27-12-11 à 15:33

J'ai relu plus attentivement ta démonstration. Si tu tiens à Cauchy, tu n'as pas regardé tous les cas... Il faut aussi montrer que ça colle pour des différences d'indices pairs ou impairs, pas seulement pour les mixtes!

Posté par
ferencre : suites 27-12-11 à 15:43

en effet, je ni avait pas pensé, mais c'est pas évident ? puisque comme les sous suite d'indice pair et impaire converge, alors elle sont de cauchy, donc pour tout m,n>N de même parité, |c_n-c_m|=|a_n-a_m|<\epsilon.

Posté par
ferencre : suites 27-12-11 à 15:46

je vous prie de bien vouloir m'excuser de vous solliciter ainsi camélia mais pourriez vous voir mon post "définition limite" car je n'arrive toujours pas à avoir de réponse, et c'est très important.
Merci beaucoup,

Posté par
Camélia Correcteurre : suites 27-12-11 à 15:47

Si, bien sur, c'est évident, mais il est impératif de le dire! (C'est la première source d'erreur en appliquant Cauchy; rater des cas...)

Posté par
Camélia Correcteurre : suites 27-12-11 à 15:49

Je n'ai pas trouvé ledit post... mets le lien!

Posté par
ferencre : suites 27-12-11 à 15:50

voici
définition limite


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