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suites
Bonjour j'aurai besoin d'aide pour cet exo, merci d'avance!
On condidère la suite (Un)n
définie par la donnée de U0>0, U1>0 et la relation de récurrence U(n+2)=racine(U(n+1))+racine(Un).
1)On pose 
=min(U0,U1,4) et 
=max(U0,U1,4)
a) Montrer que pour tout n, Un
.
b)Montrer que pour tout n, Un
.
2)Pour n, on note An={Up; pn}.
a)Montrer que An admet une borne supérieure et une borne inférieure. On note 
n=sup(An) et 
n=inf(An).
b)Montrer que les suites (n) et (n) sont monotones, puis qu'elles sont convergentes. On note l=lim(n) lorsque n tend vers l'infini et l'=lim(n) lorsque n tend vers l'infini.
3)a)Montrer que 
n, 2*racine(n)(n+2) et (n+2)2*racine(n).
b)En déduire que l=l'=4
c)Montrer que Un tend vers 4 lorsque n tend vers l'infini.
Pour démarrer:
pour a>0 , a^2-2a=a(a-2) est du signe de a-2 donc
alpha<2rac(alpha) et béta >2rac(béta), donc...
Par récurrence, si Un et Un+1 sont >alpha , Un+2=rac(Un)+rac(Un+1)>2rac(alpha)>alpha
idem pour béta dans l'autre sens...
ok merci,
pour la 2)a) est-ce que n= et n= et commment le justifier?
Non: lambdan et mun sont des suites...
Comme An+1 est inclus dans An les deux suites lambda et mu sont respectivement décroissante et croissante (sup(An+1)<sup(An) ,etc...) et respectivement minorée et majorée par alpha et béta
Donc elles convergent
Fais au moins le 3) pour montrer que tu as compris...
Un+p+2=rac(Un+p)+rac(Un+p+1);
comme An+1 inclus dans An, lambda(n+1)<=lambda(n)
or Un+p<=lambda(n) et Un+p+1<=lambda(n+1)<=lambda(n)
donc Un+p+2=rac(Un+p)+rac(Un+p+1)<=2rac(lambda(n) et comme la borne supérieure des Un+p+2 est lambda(n+2)
lambda(n+2)<=2rac(lambda(n)
idem pour mu(n+2)>=2rac(mu(n))
En passant à la limite l<=2rac(l) et l'>=2rac(l') or l et l' >0 donc rac(l)<=2 et rac(l')>=2
Mais puisque mu(n)<=lambda(n), l'<=l donc rac(l')=rac(l)=2
l=l'=4 et comme mu(n)<=Un<=lambda(n), Un tend vers 4
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