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Niveau Maths sup
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Suites

Posté par
Laurierie 06-11-05 à 12:42

Bonjour, je me trouve confronté à un problème sur les suites et certaines question me bloquent grandement.

Pour tout n de N, Un=n.\(\array{2n\\n}\)/(4^n).

1.Calculer U1 et Un+1/Un.
Je trouve U1= 1/2 et Un+1/Un= [(2n+1).(n+1)] / [(2n+2).n].

2.Démontrer par récurrence que Un n/(2n+1).

J'utilise le fait que Un+1= Un.[(2n+1).(n+1)] / [(2n+2).n] ce qui entraine que Un+1<= V(n+1).V(2n+1)/(2n+2). mais je n'arrive pas a conclure sur le fait que V(n+1).V(2n+1)/(2n+2)< V(n+1)/V(2n+3).

3.J'ai ensuite montré  qu'il existe L appartenant a [1/2, V(1/2)] tel que lim (Un)=L

4.Montrer que pour tout x plus grand ou égal à 0, 1/[8(x+1/2)](x+1/2)-[x.(x+1)]1/[8.[x.(x+1)][smb] ]

Je ne vois pas comment faire ici. L'exercice n'est pas terminé mais je pense que si vous m'aidez pour la question 2 et 4 je devrais me débrouiller seule apres. Merci beaucoup pour votre aide

Posté par
Laurieriere : Suites 06-11-05 à 12:43

La fin de mon message n'est pas apparu bizarement:

"Je ne vois pas comment faire ici. L'exercice n'est pas terminé mais je pense que si vous m'aidez pour la question 2 et 4 je devrais me débrouiller seule apres. Merci beaucoup pour votre aide "

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Suites 06-11-05 à 14:13

Bonjour Laurierie;
1) Je trouve effectivement que 4$\fbox{U_1=\frac{1}{2}\\(\forall n\ge1)\hspace{5}\frac{U_{n+1}}{U_n}=\frac{2n+1}{2sqrt{n}sqrt{n+1}}}
2)(*)C'est vrai pour n=1 puisque 4$\fbox{U_1=\frac{1}{2}\le\frac{1}{sqrt3}}
(*)Supposons que 4$\fbox{U_n\le\frac{sqrt{n}}{sqrt{2n+1}}} pour un certain 3$n\ge1 on a alors 4$\fbox{U_{n+1}=U_n\frac{2n+1}{2sqrt{n}sqrt{n+1}}\le\frac{sqrt{n}}{sqrt{2n+1}}\frac{2n+1}{2sqrt{n}sqrt{n+1}}=\frac{sqrt{2n+1}}{2sqrt{n+1}}\le\frac{sqrt{n+1}}{sqrt{2n+3}}} (vérification facile par passage au carrée)
3)(*)La suite 4$(U_n)_{n\ge1} est donc majorée (par \frac{1}{sqrt2} d'aprés 2))
(*)et vu que 4$\fbox{\forall n\ge1\\(\frac{U_{n+1}}{U_n})^2=\frac{4n^2+4n+1}{4n^2+4n}\ge1} elle est croissante
et convege donc vers un réel 4$\fbox{L\in[\frac{1}{2},\frac{1}{sqrt2}]}
4) Fixer 4$\fbox{x>0} et appliquer le théorème des accroissement finis à la fonction 4$\fbox{f{:}t\to\sqrt{x^2+x+t}} sur l'intervalle 4$\fbox{[0,\frac{1}{4}]}

Sauf erreurs bien entendu

Posté par
Laurieriere : Suites 06-11-05 à 15:29

Merci pour tes réponses elhor_abdelali. Hélas, pour la réponse 4. nous n'avons pas vu le théorème que tu cites. Je mets ici la suite de l'exercice,qui peut être peut aider à trouver une autre méthode pour la 4.

5. Montrer que pour tout n :
Un/8.[1/(n+0.5) - 1/(n+1.5)]Un+1-UnUn/8.[(1/n-1/(n+1)].

6.Encadrer Up-Un (pour p>n) puis établir successivement:
Pour tout n1 Un/[8(n+0.5)]L-UnL/(8n)

Pour tout n1 |L-(1+1/(8n).Un|L/(16n²)

7.Comment suffit il de choisir n pour que Un soit une valeur approchée de L à 10^-5 près? Même question avec (1+1/(8n))Un.

Voila, je pense qu'une fois démontrée la 4, on peut en déduire les autres questions... Aurais tu une autre méthode pour la 4?

Merci indéfiniement

Posté par
Laurieriere : Suites 06-11-05 à 22:25

Un petit si tu passes par là elhor... Merci bonne soirée

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : Suites 06-11-05 à 22:53

Bonsoir Laurierie;
D'aprés ton profil (mathsup) je crois que tu devrais avoir déjà entendu parler du théorème des accroissements finis dont l'énoncé est le suivant:
3$\fbox{a,b\hspace{5}deux\hspace{5}reels\hspace{5}a<b} 3$\fbox{f{:}[a,b]\to\mathbb{R}\hspace{5}une\hspace{5}application}
Si 5$\red et\{{\fbox{f\hspace{5}est\hspace{5}continue\hspace{5}sur\hspace{5}[a,b]}\\\fbox{f\hspace{5}est\hspace{5}derivable\hspace{5}sur\hspace{5}]a,b[}
alors 5$\blue\fbox{\exists c\in]a,b[\hspace{5}/\hspace{5}f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)}

Posté par
Laurieriere : Suites 07-11-05 à 07:33

Désolé elhor_abdelali, nous n'avons pas encore vu ce théorème, certainement parce que nous n'avons fait le chapitre "Fonctions Numériques". Autrement dit, je pense qu'il doit y avoir une autre méthode (études de fonctions??? Cela me parait lourd...). Ceci dit,si nous commencons le chapitre "Fonctions Numériques" cette semaine,alors nous verrons surement le théorème et cela me permettra de continuer l'exercice...

Merci

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Suites 07-11-05 à 09:40

4)
x+\frac{1}{2} - \sqrt{x(x+1)} \leq ? \frac{1}{8\sqrt{x(x+1)}}

8\sqrt{x(x+1)}(x+\frac{1}{2}) - 8x(x+1) \leq ? 1

8\sqrt{x(x+1)}(x+\frac{1}{2}) \leq ? 1 + 8x(x+1)

8\sqrt{x(x+1)} \leq ? 2.\frac{1 + 8x(x+1){2x+1}

4\sqrt{x(x+1)} \leq ? \frac{1 + 8x(x+1){2x+1}

Les 2 membres sont positifs --> équivalent à:

16x(x+1) \leq ? \frac{(1 + 8x(x+1))^2{(2x+1)^2}

16x(x+1).(2x+1)^2 \leq ? (8x^2+8x+1)^2

(16x^2 + 16x).(4x^2+4x+1) \leq ? 64x^4+64x^2+1+128x^3+16x^2+16x

64x^4+64x^3+16x^2+64x^3+64x^2+16x \leq ?  64x^4+64x^2+1+128x^3+16x^2+16x

0 \leq ? 1

Ceci est une évidence, cette évidence a été déduite de x+\frac{1}{2} - \sqrt{x(x+1)} \leq \frac{1}{8\sqrt{x(x+1)}}
et donc on a bien: x+\frac{1}{2} - \sqrt{x(x+1)} \leq  \frac{1}{8\sqrt{x(x+1)}}
-----
Même technique pour l'autre partie de l'inégalité...

Sauf distraction.  

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Suites 07-11-05 à 09:44

Zut raté de Latex, je recommence.

4)
x+\frac{1}{2} - \sqrt{x(x+1)} \leq ? \frac{1}{8\sqrt{x(x+1)}}

8\sqrt{x(x+1)}(x+\frac{1}{2}) - 8x(x+1) \leq ? 1

8\sqrt{x(x+1)}(x+\frac{1}{2}) \leq ? 1 + 8x(x+1)

8\sqrt{x(x+1)} \leq ? 2.\frac{1 + 8x(x+1)}{2x+1}

4\sqrt{x(x+1)} \leq ? \frac{1 + 8x(x+1)}{2x+1}

Les 2 membres sont positifs --> équivalent à:

16x(x+1) \leq ? \frac{(1 + 8x(x+1))^2}{(2x+1)^2}

16x(x+1).(2x+1)^2 \leq ? (8x^2+8x+1)^2

(16x^2 + 16x).(4x^2+4x+1) \leq ? 64x^4+64x^2+1+128x^3+16x^2+16x

64x^4+64x^3+16x^2+64x^3+64x^2+16x \leq ?  64x^4+64x^2+1+128x^3+16x^2+16x

0 \leq ? 1

Ceci est une évidence, cette évidence a été déduite de x+\frac{1}{2} - \sqrt{x(x+1)} \leq \frac{1}{8\sqrt{x(x+1)}}
et donc on a bien: x+\frac{1}{2} - \sqrt{x(x+1)} \leq ? \frac{1}{8\sqrt{x(x+1)}}
-----
Sauf distraction

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Suites 07-11-05 à 09:45

Et rezut, la fin est :

...
0 \leq ? 1

Ceci est une évidence, cette évidence a été déduite de x+\frac{1}{2} - \sqrt{x(x+1)} \leq \frac{1}{8\sqrt{x(x+1)}}
et donc on a bien: x+\frac{1}{2} - \sqrt{x(x+1)} \leq  \frac{1}{8\sqrt{x(x+1)}}
-----

Posté par
Laurieriere : Suites 07-11-05 à 18:47

Bonsoir et merci pour tes réponses J-P. J'ai demandé a mon prof quelle était la meilleur méthode, il m'a demandé d'utiliser l'expression conjugué. Ce qui me permet d'aboutir à (x+1/2)-V[x.(x+1)]= 1/[4.[x+0.5+V(x²+x)]]. Je me rapproche du but mais je n'arrive pas à conclure

D'autre part, je bloque sur les autres questions ,si quelqu'un peut me donner des indications,ca m'aiderai bien.

Merci beaucoup

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Suites 07-11-05 à 19:16

On peut probablement passer par les quantités conjuguées, je ne pense pas que les calculs soient cependant beaucoup plus directs ainsi.

Voila la seconde partie par la même méthode que celle que j'ai déjà utilisée.

1/[8(x+1/2)] <=? (x+1/2) - V(x.(x+1))

1 <=? [(x+1/2) - V(x.(x+1))].[8(x+1/2)]

1 <=? 8(x+1/2)² - V(x.(x+1)).[8(x+1/2)]

V(x.(x+1)).[8(x+1/2)]  <=? 8(x+1/2)² - 1

V(x.(x+1)).[4(2x+1)]  <=? 2(2x+1)² - 1

V(x.(x+1)).[4(2x+1)]  <=? 8x²+8x + 1

Les 2 membres sont > 0 -->

16.x.(x+1).(2x+1)²  <=? (8x²+8x + 1)²

16.(x²+x).(4x²+4x+1)  <=? (8x²+8x + 1)²

16.(4x^4+4x³+x²+4x³+4x²+x)  <=? 64x^4+64x²+1+128x³+16x²+16x

64x^4+64x³+16x²+64x³+64x²+16x  <=? 64x^4+64x²+1+128x³+16x²+16x

0  <=? 1

Ceci est une évidence, cette évidence a été déduite de 1/[8(x+1/2)] <= (x+1/2) - V(x.(x+1)), on a donc bien:

1/[8(x+1/2)] <= (x+1/2) - V(x.(x+1))
-----
Sauf distraction.  

Posté par
J-P Posteur d'énigmesre : Suites 07-11-05 à 19:29

Voila la 2ème partie en multipliant par la quantité conjuguée, cela ne change pas grand chose.

1/[8(x+1/2)] <=? (x+1/2) - V(x.(x+1))

[1/(8(x+1/2))].[(x+1/2) + V(x.(x+1))] <=? [(x+1/2) - V(x.(x+1))].[(x+1/2) + V(x.(x+1))]

[1/(8(x+1/2))].[(x+1/2) + V(x.(x+1))] <=? (x+1/2)² - x.(x+1)

(x+1/2) + V(x.(x+1)) <=? [(x+1/2)² - x.(x+1)].8(x+1/2)

V(x.(x+1)) <=? [(x+1/2)² - x.(x+1)].8(x+1/2) - (x+1/2)

V(x.(x+1)) <=? [(2x+1)²/4 - x.(x+1)].4(2x+1) - (2x+1)/2

V(x.(x+1)) <=? (4x²+4x+1 - 4x.(x+1))(2x+1) - (2x+1)/2

V(x.(x+1)) <=? (4x²+4x+1-4x²-4x )(2x+1) - (2x+1)/2

V(x.(x+1)) <=? (2x+1) - (2x+1)/2

2.V(x.(x+1)) <=? (2x+1)

Les 2 membres sont positifs -->

4(x.(x+1)) <=? (2x+1)²

4x²+4x <=? 4x²+4x+1

0 <=? 1

Ceci est une évidence, cette évidence a été déduite de 1/[8(x+1/2)] <= (x+1/2) - V(x.(x+1)), on a donc bien:

1/[8(x+1/2)] <= (x+1/2) - V(x.(x+1))
-----
Sauf distraction.  

Posté par
Laurieriere : Suites 07-11-05 à 19:55

Ok merci beaucoup J-P pour toute ton aide, effectivement les calculs ne sont guerre plus court .

Si quelqu'un peut m'aider par la suite (question 5,6,7) ou tout du moins me donner des indications afin que je puisse continuer l'exercice,je suis prenante.

Quoiqu'il en soit merci J-P d'avoir autant détaillé ton explication

Posté par
Laurieriere : Suites 07-11-05 à 21:49

C'est encore moi, j'ai refait les calculs avec utilisation de l'expression conjugué,c'est beaucoup plus simple, je trouve que tu t'es compliqué dans ton calcul J-P :
une fois à cette ligne, V(x.(x+1)) <=? [(x+1/2)² - x.(x+1)].8(x+1/2) - (x+1/2)
il suffit de dévelopé le membre de droite et on arrive directement à la fin.Pareil pour lautre inégalité. Enfin bref, ca m'a bien avancé merci. J'ai aussi réussi à répondre a la question 5. Il reste plus que la 6 et la 7 . Merci encore . J'y retourne!

Posté par
Laurieriere : Suites 08-11-05 à 07:26

Bon ba je bloque sur la 6,tout du moins pour faire l'encadrement Up-Un...si quelqu'un peut me donner une piste... Merci bonne journée

Posté par
Laurieriere : Suites 08-11-05 à 22:40

Un dernier petit up... Merci


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