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suites

Posté par Nico02 (invité) 18-09-06 à 18:11

bonjour
quelqu'un peut il m'aider en me donnant des indications sur cet exercice?
soient Uo>0 Vo>0
1/Un+1=1/2(1/Un+1/Vn)
Vn+1=(Un+Vn)/2

1) montrer que l'on definit bien ainsi deux suites Un et Vn
2) montrer que Un et Vn sont adjacentes en étudian
Vn+1-Un+1    pour la limite  certainement
Vn+1-Vn
Un+1-Un  pour les croissances et decroissances

3) Calculer Wn = UnVn. En deduire la limite commune des suites Un et VN

Posté par
raymond CorrecteurRe : suites 18-09-06 à 20:54

Bonsoir Nico.
1°) Par récurrence : tu montres que un et vn sont > 0. Ceci permet de définir les deux suites.
2°) On trouve :
3$\textrm v_{n+1} - u_{n+1} = \frac{(v_n - u_n)^2}{2(u_n + v_n)} : (I)

3$\textrm u_{n+1} - u_n = u_{n}\frac{v_n - u_n}{v_n + u_n}

3$\textrm v_{n+1} - v_n = \frac{u_n - v_n}{2}

Ceci permet de dire que :
u1< ... < un< ... < vn < ... < v1

Enfin (I) entraine :
3$\textrm v_{n+1} - v_{n+1} \le \frac{1}{2}(v_n - u_n).

Les suites sont bien adjacentes. Enfin on trouve que wn+1 = wn.
Donc unvn = u0v0Donc, la limite commune est :
3$\textrm l = \sqrt{u_{0}v_{0}}.
Cordialement RR.


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