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suites adjacentes
Salut à tous,
Voilà j'ai un petit problème sur cet exercice:
Soit (Un)n la suite définie par
U0 = 1 et Un+1 = 1 + 2/Un pour n
1) Vérifier que la suite est bien définie pour tout n (c'est à dire que Un est différent de 0).
2) Etudier la fonction f(x) = 1 + 2/x sur]0,+[ et en déduire que la suite Vn = U2n est croissante, et que la suite Wn = U2n+1 est décroissante.
3) Montrer que la suite (Vn)n est majorée par 2 et que = 0.
4) En déduire que la suite (Un) converge vers 2.
En fait, je suis bloqué à la question 2).
J'ai trouvé que (Un) > 0 à la question 1).
Pour la question 2) la fonction f(x) est décroissante sur ]0,+[.
J'aimerais un peu d'aide pour la fin de la question 2) (je pense pouvoir me débrouiller pour les deux dernières questions).
Merci d'avance à tout ceux qui me donnerons des conseils (et à ceux qui auront essayé de m'aider)
salut.
raisonnement par recurrence :
n=0 V(1)-V(0)=U(2)-U(0)=5/3-1>=0
soit n>=0 tel que V(n+1)-V(n)>=0
V(n+2)-V(n+1)=U(2(n+2))-U(2(n+1))=U(2n+4)-U(2n+2)=f(U(2n+3))-f(U(2n+1))
d'apres hypothese de recurrence,V(n+1)>=V(n)
donc U(2n+2)>=U(2n)
comme f decroissante
f(U(2n+2))=<f(U(2n))
donc U(2n+3)=<U(2n+1)
et on a de meme U(2n+4)>=U(2n+2)
donc U(2n+4)-U(2n+2)>=0
donc V(n+2)-V(n+1)>=0. propriete hereditaire.
comme pour n=0 c'est vrai. pour tout n, V(n+1)-V(n)>=0
donc (Vn) croissante.
meme chose pour (Wn)
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