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Suites adjacentes
Bonjour, j'aimerais que vous me guidez sur cet exo . J'ai déjà fait la première question. Il me reste la 2eme mais j'arrive pas à débuté
Exercice 3. On considère les suites
U(n)n
* et V(n) n * définies par :
n*, Un=
k=0 à n de (1/k!) et Vn=Un+[1/(n×n!)]
1. (a) Montrer que U(n) est strictement croissante et que V(n) est strictement décroissante.
(b) Montrer que ces deux suites convergent vers une même limite notée l.
2. Montrons par l'absurde, que l 
, on suppose pour cela qu'il existe (p, q) 
×* tels que l = p/q
(a) Justifier que pour tout n *on a:U(n)< p /q <V(n)
(b) En déduire que: q!Uq < p (q - 1)! < q!Uq+ 1
(c) Montrer que q! Uq est un entier et obtenir une contradiction.
Bonjour
(a) Résulte immédiatement des propriétés des suites adjacentes.
(b) A partir de (a) avec n=q et une réduction au même dénominateur.
Merci beaucoup pour vos réponses
J'ai compris (a) mais (b) voilà ce que je trouve
Uq<p/q<Vq ssi Uq<p/q<Uq+1/(q×q!) On multiplie par q! Et on trouve q!Uq<(q-1)!p<q!Uq+1/q du coup qu'est-ce qu'il faut faire ? Et (c) ?
Pour finir (b) tu remarques que
Pour finir (c): les côtés extrêmes des inégalités ci dessus sont deux entiers consécutifs. Comment veux-tu caser un entier strictement entre les deux?
Bonjour
Ecris ce que vaut q!uq , mets le q! dans le signe 
et regarde ce que vaut chaque terme de la somme.
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