Niveau Maths sup

Suites adjacentes et leurs limites

Posté par
lanageuse56 11-11-05 à 16:38

Bonjours je dois montrer que la limites de v_net de u_n est 2
Je sais que u_nest croissante et v_nest décroissante et qu'elles sont adjacentes.

(2/u_n+1)=(1/u_n)+(1/v_n)et

v_n+1= (u_n+ v_n)/2

Je vois pas comment montrer leurss limites je pense qu'il faut encadrer les suites et utilisée le théorème des gendarmes mais je vois pas comment.

Merci d'avance

Posté par re : Suites adjacentes et leurs limites 11-11-05 à 21:16

j'ai essayer par recurrence mais j'arrive pas a faire l'tape de transmission

Posté par re : Suites adjacentes et leurs limites 11-11-05 à 21:21

Salut,

Je ne sais pas si c'est utile, mais que valent $u_0$ et $v_0$ ?

As-tu pensé à utiliser le fait que si une suite $(u_n$ )converge vers un limite $l$ alors elle vérifie l'équation $f(l)=l$ (avec $u_{n+1}=f(u_n)$ ) ?

Posté par re : Suites adjacentes et leurs limites 11-11-05 à 21:59

Je suppose que $u_0=1$ et $v_0 = 2$ d'après ton énoncé.

On commence par prover par récurrence immédiate que tous les $u_n$ et tous les $v_n$ sont positifs.

$\red \bullet$ $\large \left{ \array{ u_{n+1}=2\frac {u_n v_n}{u_n+ v_n} \\ v_{n+1}=\frac {u_n +v_n} 2}\;\;\Longrightarrow\;\; \forall n \in {\mathbb N}\,u_{n+1}-v_{n+1}=\frac {4u_nv_n-( u_n +v_n)^2}{2( u_n +v_n)}=-\,\frac {( u_n -v_n)^2}{2( u_n +v_n)}\;\le\; 0$

Donc $\red \Large \forall n \in {\mathbb N}\;\; u_n\;\le \; v_n$

$\red \bullet$ $\large u_{n+1}-u_n=2\frac {u_n v_n}{u_n+ v_n} - u_n = u_n\,\frac { v_n -u_n}{u_n +v_n}\;\ge\; 0$

Donc $\red \Large (u_n)\;\nearrow$

$\red \bullet$ $\large v_{n+1}-v_n= \frac { u_n -v_n}2\;\le\; 0$

Donc $\red \Large (v_n)\;\searrow$

$\red \bullet$ $\large \forall n \in {\mathbb N}\;\; v_{n+1}-u_{n+1}=\frac {( u_n -v_n)^2}{2( u_n +v_n)}=\frac {( v_n -u_n)}{2( u_n +v_n)}\,( v_n -v_n)\;\le\; \frac 1 2 ( v_n -v_n)$ (on montre que $\frac {( v_n -u_n)}{2( u_n +v_n)}\le \frac 1 2$ )

Donc par récurrence $\large \red v_n -u_n\;\le\;$\frac 1 2$^n( v_0 -u_0)\;\relstack{\longrightarrow}{n\rightarrow\infty}\;0$

$\blue \Large {\rm Les suites (v_n) et (u_n) sont adjacentes et convergent donc vers } \;l$

$\red \bullet$ $\large \left{ \array{ u_{n+1}=2\frac {u_n v_n}{u_n+ v_n} \\ v_{n+1}=\frac {u_n +v_n} 2}\;\;\Longrightarrow\;\; \forall n \in {\mathbb N}\,u_{n+1}v_{n+1}=u_n v_n=u_0v_0$

Par passage à la limite $\Large \red u_0v_0=l^2\;\Longrightarrow\;l=\sqrt 2$

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