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suites appliquées aux nombres complexes
Bonjour ,
Ayant des difficultés a résoudre un exercice je me propose de vous donner mon énoncé afin de m'aider:
Les points A0 = 0 ; A1;.....A20 sont les sommets d'un polygone régulier de centre A , à 21 côtées de sens direct.
Les points B0 = 0 ;B1 ;.....B14 sont les sommets d'un plygone régulier de centre B, à 15 côtyés de sens direct.( Sur la figure on peut voir que ces deux polygones se croisent aux points A0 et B0. )
Soit ra la rotation de centre A et d'angle 2
/21 et rB la rotation de centre B et d'angle 2pie/15.
On définie la suite ( Mn ) de points par :
-M0 est l'un des points A0 , A1, A2 ....., A20
-Pour tout entier naturel n , Mn+1 =rA 5 (Mn).
On définit la suite (Pn) de points par :
-P0 est l'un des points B0? B1? B2?......? B14
-poue tout entier naturel n , Pn+1 = rB (Pn).
Le but de l'exercice est de déterminer , pour deux cas particuliers , l'ensemble S des entiers naturels n vérifiant :
Mn = Pn = 0
1.Dans cette question ,M0 = P0 =0.
a.Indiquer la position du poin M2000 et celle du point P2000.
b.Déterminer le plus petit entier naturel n non nul tel que : Mn = Pn =0.
En déduire L'ensemble S.
Salut ...
Pose Zn = zn - zA
Puisque Mn+1 = rA(Mn), on a :
Zn+1 = e^(i2/21) Zn
Donc la suite (Zn) est géométrique de raison e^(i2/21)
Donc Zn = (e^(i2/21))^n Z0
Donc Z2000 = (e^(i2/21))^(2000) Z0 = (e^(i22000/21)) Z0
Or 2000 = 21*95 + 5
Donc
Z2000 = (e^(i295))(e^(i25/21)) Z0 = (e^(i2/21))^5 Z0 = Z5
Donc M2000=A5
De manière analogue, en remarquant que 2000 = 15*133 + 5, on montre que P2000=B5
On montre que Mn=O ssi 21 divise n
Et Pn=O ssi 15 divise n
Donc le plus petit entier n tel que Mn=Pn=O est ppcm(21,15)= 105
S est l'ensemble des multiples de 105
Matouille2b 
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