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Suites (classe prépa)

Posté par
jassy 26-09-07 à 16:56

bonjour ,j'ai besoin de votre aide pour les exercices suivantes svp,pouvez vous m'expliquer la méthode et détailler les calculs svp ...merci d'avance

exercice1
Montrer que chacun des ensembles suivants est un intervalle, éventuellement vide

    infini
I0=   [-1+(1/n),1-(1/n)]
    n=1

    infini
I1=   [1-(1/n),1+(1/n)]
    n=1

    infini
I2=   [1-(1/n),1+(1/n)]
    n=1

    infini
I3=   [n,+infini]
    n=1

    infini
I4=   [1/n,+infini]
    n=1

exercice2:
on considère les ensembles suivants:

A = {((n-1)/(n+1));n}

B = {(-1)^{[/sup]n n;}

C = {(-1)[sup]}n +(1/n);n*}

1)dire pour chacun de ces ensembles s'il est majoré, minoré,borné.
2)lorsque c'est possible, déterminer la borne supérieure et la borne inférieure.

exercice3:
etudier la convergence des suites définies par les termes généraux suivants:

un = (2^{[/sup](n+1) + 3[sup]}(n+1))/(2^{[/sup]n + 3[sup]}n

vn = (1/2) + (1/4) +...+(1/(2^{[/sup]n))

wn = 1 - (1/3) +(1/9) +...+(((-1)[sup]}n )/ (3^{[/sup]n))

rn = (sin(n[sup]}2)/((n[sup][/sup]2) +1)

tn = (1+n+nln n) -n

Posté par re : Suites (classe prépa) 26-09-07 à 17:09

exusez moi pour l'exercice 3 car cela n'est pas très lisible ...

exercice3:
etudier la convergence des suites définies par les termes généraux suivants:

un = (2puissance(n+1) + 3puissance(n+1))/((2puissance n )+ 3puissance n)

vn = (1/2) + (1/4) +...+(1/(2puissance n))

wn = 1 - (1/3) +(1/9) +...+(((-1)puissance n )/ (3puissance n))

rn = (sin(n au carré )/((n au carré) +1)

tn = racine de(1+n+nln n) - racine de n

Posté par re : Suites (classe prépa) 26-09-07 à 17:11

Bonjour,

pour le premier montre que $I_0 = ]-1,1[$ (qui est un intervalle) par double inclusion.

Posté par re : Suites (classe prépa) 27-09-07 à 15:19

pouvez vous m'expliquer la méthode svp ...je comprend rien ...j'ai besoin d'aide pour les trois exercices ...merci d'avance

Posté par re : Suites (classe prépa) 27-09-07 à 15:47

ben la méthode c'est montrer que $I_0 \subset ]-1,1[$ et que $]-1,1[ \subset I_0$ ,
du coup il y a égalité.

Qu'est-ce que tu ne comprends pas?

Posté par re : Suites (classe prépa) 27-09-07 à 17:03

merci pr ta réponce
comment tu as fai pour trouver ]-1,1[... et pour l'exercice 2 et 3 aussi je sui bloqué ...

Posté par re : Suites (classe prépa) 28-09-07 à 00:36

Tu fixes un entier $n$ .

on a $-1+\frac{1}{n} > -1$ , et $1-\frac{1}{n}<1$

Donc $[-1+\frac{1}{n},1-\frac{1}{n}]\subset ]-1,1[$ .

Par conséquent $4$\bigcup_{n=1}^{+\infty} [-1+\frac{1}{n},1-\frac{1}{n}] \subset ]-1,1[$

Réciproquement soit $x\in ]-1,1[$ . On a donc les inégalités $-1<x<1$ .
La suite $(-1+\frac{1}{n})_n$ tend vers -1 et la suite $(1-\frac{1}{n})_n$ tend vers 1.

Donc il existe $N\in \mathbb{N}$ tel que

$3$n\geq N\quad \Longrightarrow \quad -1+\frac{1}{n}<x<1-\frac{1}{n}$ ,

autrement dit $3$x\in \bigcup_{n=N}^{+\infty} [-1+\frac{1}{n},1-\frac{1}{n}] \subset \bigcup_{n=1}^{+\infty} [-1+\frac{1}{n},1-\frac{1}{n}]$ .

D'où $4$]-1,1[\subset \bigcup_{n=1}^{+\infty} [-1+\frac{1}{n},1-\frac{1}{n}]$

Posté par re : Suites (classe prépa) 28-09-07 à 00:41

pour l'exercice 2, l'ensemble $A$ ,

tu sais que pour tout entier $n\in \mathbb{N}$ , on a $n-1<n+1$ .

Comme $n+1>0$ , cela équivaut à dire que $\frac{n-1}{n+1}<1$ .
D'où 1 est un ... de A.

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