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Suites complexes

Posté par
mellepapillon 08-01-06 à 11:24

Bonjour !

   On a une suite (z_n) définie par z_0 qui est un complexe non réel et par z_{n+1}=\frac{1}{2}.(z_n + ||z_n||). Je dois justifier que \forall n, z_n = r_n.e^{i\alpha_n} avec r_n appartenant à R^{+}_{*} et \alpha_n appartenant à ]-,[. On exprimera r_{n + 1} en fonction de r_n puis \alpha_n en fonction de \alpha_0 et n.

Merci beaucoup et bonne journée !

Melle Papillon

Posté par
kaiser Moderateurre : Suites complexes 08-01-06 à 12:29

Bonjour mellepapillon

Les termes de la suites sont des complexes donc cette écriture est justifiée au détail près que rn peut être nul et \alpha_{n} est a priori dans l'intervalle ]-\pi,\pi].
Or z_{0} n'est pas réel, donc en déduit par récurrence que tous les termes de la suite ne sont pas réel d'où r_{n} est strictement positif et \alpha_{n}\in ]-\pi,\pi[

Kaiser

Posté par
mellepapillonre : Suites complexes 08-01-06 à 13:29

Bonjour Kaiser (mon sauveur de habituel)

Merci de tes explications qui m'éclairent, mais comment peut-on exprimer r_{n+1} en fonction de r_{n} et surtout \alpha_{n} en fonction de \alpha_{0} et n ?

Merci et bon après-midi

Melle Papillon

Posté par
kaiser Moderateurre : Suites complexes 08-01-06 à 14:47

Mais je t'en prie !

En ce qui concerne les suites, tu dois identifier deux expressions de z_{n+1}.
D'une part, tu sais que z_{n+1}=r_{n+1}e^{i\alpha_{n+1}}.
D'autre part, tu sais que z_{n+1}=\frac{1}{2}(z_{n}+|z_{n}|)

remplace z_{n} par r_{n}e_{i\alpha_{n}} et essaie d'arranger l'expression en factorisant.

Kaiser
Bon après-midi à toi aussi.


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