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Suites Convergentes

Posté par
ludo26 22-09-16 à 13:04

Bonjour,

J'ai un gros souci sur une suite numerique recurrente:

Soit  U_{n+1} = \frac{5U_{n}+12}{U_{n}+4}  et  V_{n}=4-U_{n}  avec  U_{1}=2

1. Vérifier que, pour tout n, 0 \leq Un \leq4 - Ca c'est bon
2. Montrer que les deux suites sont monotones. C'est bon aussi
3. Etudier la convergence des deux suites et déterminer, le cas échéant, leurs limites.
Je démontre que Un est convergente (bornée + croissante) mais comment étudier Vn ??? Je trouve une limite en 5 pour Un mais quid de Vn ?

Merci d'avance

Posté par
scoatarinre : Suites Convergentes 22-09-16 à 13:11

Bonjour,

Comment peux-tu affirmer que la limite de Un est 5, alors que dans la question 1. tu as verifié que 0Un4 ?

Posté par
ludo26re : Suites Convergentes 22-09-16 à 13:13

et oui c pas faux, j'ai cru qu'il suffisait d'étudier la limite de U_{n+1}...

Posté par
ludo26re : Suites Convergentes 22-09-16 à 13:20

Si je comprends bien on peut conclure d'après le 1. qu'étant donné que la suite et croissante et majorée en 4, on peut déduire que la limite de Un en +oo ?

Posté par
aymanemaysaere : Suites Convergentes 22-09-16 à 14:30

Bonjour,

Vous avez montré que \forall n\in\mathbb N : 0\le u_n\le 4
comme vous avez montré que u_n est monotone (ici croissante)
donc u_n est croissante majorée, donc elle est convergente.

Puisque u_n est convergente, donc \exists a\in\mathbb R tel que \lim_{n\rightarrow +\infty} u_n = a ,

donc on peut trouver "a" en résolvant l'équation suivante : a = \frac{5 a + 12}{a + 4} .

Pour l'étude v_n il y a des chemins longs et des raccourcis

Posté par
ludo26re : Suites Convergentes 22-09-16 à 14:36

Merci , je continue mon étude

Posté par
ludo26re : Suites Convergentes 22-09-16 à 14:40

est -il possible d'avoir un indice pour l'etude de Vn

Posté par
scoatarinre : Suites Convergentes 22-09-16 à 14:52

Comme Vn = 4 - Un, que peut-on écrire de la limite quand n tend vers l'infini de Vn ?

Posté par
jsvdbre : Suites Convergentes 22-09-16 à 14:52

Ceci ne vous dit rien  ? :

Si u est une suite réelle convergent vers un réel l, alors la suite -u suit les variations contraires de u et a pour limite -l.

Si u' est une suite réelle convergent vers un réel l', alors la suite u'+4 suit les variations de u' et a pour limite l'+4.

En combinant les deux, on devrait y arriver ...

Posté par
aymanemaysaere : Suites Convergentes 22-09-16 à 14:55

Bonjour,

De même, vous avez montré que v_n est monotone (ici décroissante),
comme vous avez : 0\le u_n \le 4 \iff -4\le -u_n \le 0 \iff 0 \le 4 - u_n \le 4 \iff 0 \le v_n \le 4

donc v_n est minorée ,

donc vous avez v_n décroissante minorée donc convergente,

donc \lim_{n\rightarrow + \infty} v_n = \lim_{n\rightarrow + \infty} 4 - u_n .

Vous pouvez continuer maintenant .

Posté par
ludo26re : Suites Convergentes 22-09-16 à 15:02

je trouve pour X1=-4 et X2=3
donc je vois pas comment continuer ....

Posté par
ludo26re : Suites Convergentes 22-09-16 à 15:04

il va me falloir un petit moment pour comprendre....
Merci bcp
Je vous tiens au courant

Posté par
ludo26re : Suites Convergentes 22-09-16 à 15:17

Alors... vu que U_{n} \geq 0 on peut déduire que \lim_{n\rightarrow +\propto} =3
alors a quoi sert les bornes de Un

Posté par
ludo26re : Suites Convergentes 22-09-16 à 15:40

Donc lim en +oo de Vn=4-3=1

Posté par
ludo26re : Suites Convergentes 22-09-16 à 16:27

Donc: Unest croissant et convergent de limite3 et Vnest decroissant et convergent de limite 1

Je doit aussi demontrer que pout tout n\geq 1   Vn+1< Vn/4

et Determiner une valeur seuil N de n telle que pour n\geq N, \left|un-4 \right|< 10^-6

Alors la je vois plus du tout , help


  

Posté par
DOMOREAre : Suites Convergentes 22-09-16 à 16:57

bonjour,
recommence la résolution de ton équation du second degré.

Posté par
ludo26re : Suites Convergentes 22-09-16 à 17:51

ok

Posté par
ludo26re : Suites Convergentes 22-09-16 à 17:59

donc j'ai x²-x-12=0    Delta=49 X1=4   et X2=3

Posté par
ludo26re : Suites Convergentes 22-09-16 à 18:04

Alors Un est croissant et convergent de limite 4 et Vn est décroissant et convergent en 0.
Je suis vraiment pas a l'aise avec les suites.

Posté par
ludo26re : Suites Convergentes 22-09-16 à 18:20

bloquer au question suivant help

Posté par
DOMOREAre : Suites Convergentes 22-09-16 à 18:25

re,
non c'est 4 et -3, ce qui va faciliter  la découverte de la limite

Posté par
ludo26re : Suites Convergentes 22-09-16 à 18:31

désoler pour erreur en effet j'ai -3 , j'ai bien lu mon cours mais alors la je suis complement paumer pour le reste

Posté par
ludo26re : Suites Convergentes 22-09-16 à 20:07

help

Posté par
ludo26re : Suites Convergentes 22-09-16 à 20:45

prob sur les question poster a 16h27 le22
je n'y comprend plus rien

Posté par
veledare : Suites Convergentes 22-09-16 à 22:56

bonsoir,

tu formes v_{n+1}=4-u_{n+1}=4-\frac{5u_n+12}{u_n+4}=\frac{4-u_n}{u_n+4}=\frac{v_n}{u_n+4} et tu sais que0\le u_n\le4

Posté par
ludo26re : Suites Convergentes 23-09-16 à 08:52

Merci
je vais travailler cela cet ap
je vous tiens au courant

Posté par
ludo26re : Suites Convergentes 23-09-16 à 13:57

donc je trouve que \frac{Un}{Un+4} \geq \frac{4}{Un+4}
et la je ne vois pas comment interprété... leVn+1 >Vn/4

Posté par
tabelardre : Suites Convergentes 23-09-16 à 15:23

0\leq U_{n}\Leftrightarrow 4\leq U_{n}+4\Leftrightarrow \frac{V_{n}}{4 }\geq \frac{V_{n}}{U_{n}+4}
donc \frac{V_{n}}{4 }\geq V_{n+1}
CQFD

Posté par
ludo26re : Suites Convergentes 23-09-16 à 15:29

ça répond pas au strictement supérieur, je vois pas......

Posté par
jsvdbre : Suites Convergentes 23-09-16 à 15:42

jsvdb @ 22-09-2016 à 14:52

Ceci ne vous dit rien  ? :

Si u est une suite réelle convergent vers un réel l, alors la suite -u suit les variations contraires de u et a pour limite -l.

Si u' est une suite réelle convergent vers un réel l', alors la suite u'+4 suit les variations de u' et a pour limite l'+4.

En combinant les deux, on devrait y arriver ...


On arrive à \lim_{n \rightarrow \infty}V_n = 4-\lim_{n \rightarrow \infty}U_n  

On a \lim_{n \rightarrow \infty}U_n = 4

donc \lim_{n \rightarrow \infty}V_n = 0

Posté par
ludo26re : Suites Convergentes 23-09-16 à 16:00

OK merci, a force ca finira par rentrer.
Par contre avez-vous un petit indice a me donner pour que je puisse commencer, pour ma question de seuil poster le 22 à 16h27

Posté par
scoatarinre : Suites Convergentes 23-09-16 à 16:04

scoatarin @ 22-09-2016 à 14:52

Comme Vn = 4 - Un, que peut-on écrire de la limite quand n tend vers l'infini de Vn ?


Il me semble que j'avais ouvert la voie vers la solution à ludo26, mais il ne m'a pas répondu. Dommage

Posté par
ludo26re : Suites Convergentes 23-09-16 à 16:09

c'est pas que je voulais répondre mais plutôt que je ne savais pas répondre, c'était le noir total

Posté par
ludo26re : Suites Convergentes 23-09-16 à 16:16

le problème pour ma question de seuil c'est que je comprend pas la question. (désespoir)

Posté par
jsvdbre : Suites Convergentes 23-09-16 à 19:30

ludo26 @ 23-09-2016 à 16:16

(désespoir)
snif ! ... moi aussi

Posté par
veledare : Suites Convergentes 23-09-16 à 22:30

bonsoir,

*le texte demande de montrerv_{n+1}<\frac{v_n}{4}] inégalité stricte
tu sais que u_1=2 et que la suite (u_n) est croissante doncu_n+4\ge 6>4 }
d'où v_{n+1}\le\frac{v_n}{6}<\frac{v_n}{4}

Posté par
ludo26re : Suites Convergentes 24-09-16 à 18:15

bonjour,

avec des explications ça semble plus évident, les suites et moi ça commence à être un début. Pour le seuil N j'ai 4-10^(-6)

Posté par
veledare : Suites Convergentes 24-09-16 à 23:20

bonsoir,
tu as v_n<\frac{v_{n-1}}{4}
tu peux  en déduirev_n<\frac{v_1}{4^{n-1}} avecv_1=2
pour avoirv_n<10^{-6} il suffit de  réaliser \frac{2}{4^{n-1}}<10^{-6}(1)

tu cherches à partir de quelle valeur N de n  (1) est réalisée

Posté par
ludo26re : Suites Convergentes 25-09-16 à 10:15

bonjour,
Merci, petite question que je me pose si U1=2 on peut écrire alors V1=4-U1=4-2=2
ou encore V2=4-U2 .je comprend pas comment on déduit Vn , le passage de Vn a n c'est cela qui me semble compliquer sans parler 4^(n-1).

Posté par
veledare : Suites Convergentes 25-09-16 à 15:31

tu as montré que
pour tout entier n1         0<v_{n+1}<\frac{v_n}{4}

0<v_2<\frac{v_1}{4} \\ 0<v_3<\frac{v_2}{4}<\frac{v__1}{4^2}{
tu peux en déduire par  récurrence   0<v_n<\frac{v_1}{2^{n-1}}

Posté par
veledare : Suites Convergentes 25-09-16 à 15:34

lire 4n-1  erreur de touche

Posté par
ludo26re : Suites Convergentes 25-09-16 à 17:47

ok merci je trouve pour n>11.465

Posté par
veledare : Suites Convergentes 25-09-16 à 19:19

donc N=12

Posté par
ludo26re : Suites Convergentes 25-09-16 à 19:24

je ne vois pas se que je peut en conclure mis a part qd n tend en +oo Vn=0
Un=7

Posté par
veledare : Suites Convergentes 25-09-16 à 19:51

quelle est la question?

Posté par
ludo26re : Suites Convergentes 25-09-16 à 20:38

je suis confus , j'ai confondu avec un autre exo.Mais on peut arrondir au N+ au lieu de N- cad  N=11 au lieu de 12

Posté par
ludo26re : Suites Convergentes 25-09-16 à 21:53

merci à tous .

Posté par
veledare : Suites Convergentes 27-09-16 à 22:10

attention
n entier  et n>11,645=>n12

Posté par
ludo26re : Suites Convergentes 28-09-16 à 17:25

bonjour je voudrais revenir à la question de la monotonie de Un. j'ai étudier par récurrence Un et ca n'as pas l'aire d'être bon , on me demande de faire par différence. Donc je fais Un+1-Un=(Un+12-Un²)/Un+4 et la je vois pas comment on peut dire si Un est croissante ou décroissante. Pouvez vous me guider.
Merci

Posté par
ludo26re : Suites Convergentes 28-09-16 à 20:34

j'ai beau retourner l'égalité sous différente forme je ne trouve rien.

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