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Suites d'entiers

Posté par
toureissa 21-01-18 à 13:38

Bonjour,

J'ai besoin de votre aide sur cet exercice.

Montrer que toute suite d'entiers strictement monotone est divergente.

Voici ce que je fait:

Soit Un une suite d'entiers strictement monotone.

Par absurde supposons que (Un) converge vers un réel l, alors :

>0, n0 / n   , n≥n 0 |Un-l|≤,

Pour =1/3

Ona pour tout n≥n_0 , Un [l-1/3;l+1/3]
Or il ne peut qu'avoir un seul entier dans cette intervalle, cela veux dire que (Un) est stationnaire, contradiction avec le fait que (Un) est strictement monotone.

D'où (Un) est divergente.

?

Posté par
carpediemre : Suites d'entiers 21-01-18 à 13:46

salut

ouais ...

on peut raisonner directement :

si on suppose (u_n) strictement monotone croissante alors pour tout entier n : u_{n + 1} \ge u_n + 1

u_1 \ge u_0 + 1 \\ u_2 \ge u_1 + 1 \\ u_3 \ge u_2 + 1 \\ ... \\ u_{n - 1} \ge u_{n - 2} + 1 \\ u_n \ge u_{n - 1} + 1

et en additionnant membre à membre u_n \ge u_0 + n \to +\infty

Posté par
toureissare : Suites d'entiers 21-01-18 à 14:02

Et en fin si on suppose qu'elle est décroissante.

U_0\geq U_1+1


U_1\geq U_2+1
.
.
.
U_{n-1}\geq U_n+1

Soit

U_0\geq U_n+n

U_0-n\geq U_n

\lim_{n\rightarrow +\infty }(U_0-n)=-\infty,

?

Posté par
carpediemre : Suites d'entiers 21-01-18 à 14:31

oui ...

mais ce que tu as fait est correct ...

mais ce n'est pas un raisonnement par l'absurde mais plutôt par contraposée :

pour montrer P => Q on montre non Q => non P

Posté par
etniopalre : Suites d'entiers 21-01-18 à 15:07

toureissa
Si u  : est strictement décroissante  alors -u est strictement croissante  donc tend vers + et u   - .

Posté par
Camélia Correcteurre : Suites d'entiers 21-01-18 à 15:08

Bonjour

Juste une suggestion: il est "clair" qu'une suite d'entiers ne peut être de Cauchy que si elle est constante à partir d'un certain rang.

Posté par
toureissare : Suites d'entiers 24-01-18 à 23:45

Bonsoir et Merci à vous tous !

Posté par
carpediemre : Suites d'entiers 25-01-18 à 10:57

de rien


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