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suites de Cauchy

Posté par
romu 31-03-07 à 17:10

Bonjour, les convergences de suite de fonctions étant ma bête noire,
je bloque sur l'exercice suivant :

Soit E l'ensemble des fonctions numériques continues sur [0,1]; on pose pour toutes f,g \in E la distance d(f,g) = \int_0^1 |f(x)-g(x)| dx .

Si l'on pose f_n(x) = inf(n,x^{\frac{-1}{2}}), montrer que f_n est une suite de Cauchy.

Je ne vois pas du tout quel méthode employer, y a t'il une méthode générique pour démontrer qu'une suite de fonction est une suite de Cauchy selon une distance d?

Posté par
stokastikre : suites de Cauchy 31-03-07 à 17:25

Citation :
y a t'il une méthode générique pour démontrer qu'une suite de fonction est une suite de Cauchy selon une distance d
?

En général on vérifie que la définition d'une suite de Cauchy selon une distance d a bien lieu pour cette suite donnée explicitement.

Posté par
raymond Correcteursuites de Cauchy 31-03-07 à 17:48

Bonjour.

J'explicite fn.

2$\textrm f_n(x) = n si 0 \le \ x \le \ \frac{1}{n^2} et f_n(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} si \frac{1}{n^2} \le \ x \le \ 1

Ensuite, pour p > q (par exemple), je calcule d(fp,fq) en séparant :
0 < x < 1/p² ; 1/p² < x 1/q² ; 1/q² < x < 1.
Et là, je trouve 2-\frac{1}{p}-\frac{1}{q}, qui ne tend pas vers 0. J'ai certainement fait une erreur de calcul.

Essaie avec ma méthode.

A plus RR.

Posté par
Roulianere : suites de Cauchy 31-03-07 à 18:22

Bonjour,

Avec la même méthode que Raymond ( merci de m'avoir rappelé comment faire dans ce cas là ! ), j'aboutis à 4$ \frac{1}{n}-\frac{1}{p} qui tend bien vers 0.

Posté par
raymond Correcteurre : suites de Cauchy 31-03-07 à 18:27

Bonjour Rouliane.

Merci d'avoir sû calculer l'intégrale mieux que moi !

Codialement RR.

Posté par
Roulianere : suites de Cauchy 31-03-07 à 18:32

Je pense que l'erreur vient du fait que entre 1/n² et 1, fn=fp donc l'intégrale est nulle ( ton 2 doit venir de cette intégrale là, non ? )

( rque : j'ai considéré p>n )

Posté par
raymond Correcteurre : suites de Cauchy 31-03-07 à 18:48

Rouliane : mon erreur vient exactement de ce que tu signales.
Je me suis d'ailleurs brutalement retourné pour savoir si tu n'étais pas dans mon dos !
A plus RR.

Posté par
Roulianere : suites de Cauchy 31-03-07 à 19:15



A bientot

Posté par
jeansebre : suites de Cauchy 31-03-07 à 19:49

Citation :
Je me suis d'ailleurs brutalement retourné pour savoir si tu n'étais pas dans mon dos !



Dis donc, raymond, t'as la patate, on dirait!

Posté par
raymond Correcteurre : suites de Cauchy 31-03-07 à 20:00

Bonsoir jeanseb.

Peut-être la paranoïa qui me guette !
Damned me voila surveillé !

A plus RR.

Posté par
romure : suites de Cauchy 02-04-07 à 00:47

salut les profs,
donc en calculant comme me dit Raymond,

je calcule d abord pour x \in [0,\frac{1}{p^2}]:
d(f_p,f_q)=\int_0^{\frac{1}{p^2}}|f_p(x)-f_q(x)|dx = \int_0^{\frac{1}{p^2}} (p-q)dx = (p-q)\frac{1}{p^2} = \frac{1}{p} - \frac{q}{p^2};

ensuite pour x \in [\frac{1}{p^2}, \frac{1}{q^2}]:
d(f_p,f_q)=\int_{\frac{1}{p^2}}^{\frac{1}{q^2}}|f_p(x)-f_q(x)|dx = \int_{\frac{1}{p^2}}^{\frac{1}{q^2}}|\frac{1}{\sqrt x} - q| dx = \int_{\frac{1}{p^2}}^{\frac{1}{q^2}}(\frac{1}{\sqrt x} - q) dx = \int_{\frac{1}{p^2}}^{\frac{1}{q^2}} \frac{1}{\sqrt x} dx - q(\frac{1}{q^2} - \frac{1}{p^2}) = 2[\sqrt x]_{\frac{1}{p^2}}^{\frac{1}{q^2}} - q(\frac{1}{q^2} - \frac{1}{p^2}) = 2(\frac{1}{p} - \frac{1}{q})- q(\frac{1}{q^2} - \frac{1}{p^2});

puis pour x \in [\frac{1}{q^2}, 1] :
f(f_p,f_q) = \int_{\frac{1}{q^2}}^1|f_p(x)-f_q(x)|dx = \int_{\frac{1}{q^2}}^1 |\frac{1}{\sqrt x} - \frac{1}{\sqrt x}| dx = 0.

Donc sur [0,1], je trouve
d(f_p,f_q) = \frac{1}{p} - \frac{q}{p^2} + 2\frac{1}{p} - 2 \frac{1}{q} - \frac{q}{q^2} + \frac{q}{p^2} = \frac{3}{p} - \frac{3}{q} = 3(\frac{1}{p} - \frac{1}{q}).

Je vois pas où est mon erreur, pouvez-vous m aider svp?

Posté par
Roulianere : suites de Cauchy 02-04-07 à 03:23

Bonjour,

ton erreur est au moment du calcul pour 3$ x \in[\frac{1}{p^2},\frac{1}{q^2}], la dernière égalité est 4$ \fbox{2(\frac{1}{q}-\frac{1}{p})-q(\frac{1}{q^2}-\frac{1}{p^2})} et non pas 2(\frac{1}{p}-\frac{1}{q})\; - q(\frac{1}{q^2}-\frac{1}{p^2})

Posté par
romure : suites de Cauchy 02-04-07 à 14:58

Effectivement, merci rouliane.


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