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Suites De Cauchy

Posté par
Panter Correcteur 30-11-07 à 00:58

Salut,
Je vous propose l'exo suivant :
Dans \mathbb{R}, on définie la suite (x_n) telle que : x_n=\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \frac{(-1)^k}{k^s} avec s>0 donné et n \in\mathbb{N}^*.

Est-ce-que cette suite est une suite de Cauchy ?

BONNE REFLEXION

(Et si vous êtes prof. : merci de ne pas répondre directement, en fait ce n'est pas une question, c'est plutôt une proposition, vous pouvez bien sur m'aider à "guider" les étudients, merci de votre compréhension )

Posté par
raymond CorrecteurSuites De Cauchy 30-11-07 à 10:40

Bonjour Panter, cela faisait longtemps que nous ne nous étions pas croisés sur le site.

J'espère ne pas dire de bêtise.

La série de terme général 3$\textrm\fra{(-1)^k}{k^s} , s > 0 est convergente (critère spécial des séries alternées).
Donc, par définition, la suite (xn)n converge. Donc, (xn)n est unes suite de Cauchy.

Posté par
1 Schumi 1re : Suites De Cauchy 01-12-07 à 09:11

Salut Panter, salut raymond,

raymond >> Peut être veut-il une démonstration de ce théorème dans ce cas particulier?


Ayoub.

Posté par
Panter Correcteurre : Suites De Cauchy 01-12-07 à 14:52

Salut,
Oui, je suis d'accord avec vous !
Mais ce n'est pas pour ca que j'ai posé cet exo . j'ai en fait oublié de mentioner (il faisait tard ! dsl ) qu'il est demandé de montrer cela en utilisant le théorème fondamental des suites de Cauchy et qui est :

Soit (x_n)\in E^{\mathbb{N}}.S'il existe n_0\in\mathbb{N} et une suite réelle(a_n)_{n\geq n_0}telle que :
\forall (n,m)\in\mathbb{N}^2 , m\geq n\geq n_0 \Longrightarrow ||x_m-x_n||\leq a_n et a_n\longrightarrow_{n\to+\infty} 0
Donc (x_n) est de Cauchy

La methode que vous avez proposé n'est vlables que dans le corps

Posté par
Panter Correcteurre : Suites De Cauchy 01-12-07 à 14:55

K=\mathbb{R} ou \mathbb{C} et dans des espaces particulièrs, mais en général, c'est faux !

Posté par
Panter Correcteurre : Suites De Cauchy 02-12-07 à 01:04

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