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Suites de Cauchy

Posté par
tlsaine 26-12-11 à 13:41

Bonjour,
Voilà j'ai un DM à faire pour la rentrée et je n'arrive pas a faire certaines questions...

Voici l'énoncé:
Soit (Un) une suite numérique réelle. On dit que la suite (Un) est de cauchy si et seulement si elle vérifie la propriété suivante: >0, N2, nN "valeur absolue de" (Un+p- Un)

1)Démontrer que toute suite numériques réelles convergentes est de Cauchy.

J'ai voulu partir de la définition d'une suite réelle numérique convergente, c'est à dire : >0, n,nn "valeur absolue de" (Un- l)
Mais je ne trouve pas comment obtenir ce qui est demandé.

Merci d'avance pour votre aide.

Posté par
ferencre : Suites de Cauchy 26-12-11 à 13:52

Soit (x_n)_{n=0}^\infty convergente, donc \exists\ell\in\R:\lim_{n\to\infty}x_n=\ell
Soit \epsilon>0
Ainsi, \exists N:\forall n>N,|x_n-l|<\frac{\epsilon}{2}
Ainsi, si m,n>N, tu as que |x_n-x_m|\leq|x_n-\ell|+|x_m-\ell|<\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon
Donc \forall\epsilon>0,\exists N:\forall n,m>N,|x_n-x_m|<\epsilon
(x_n)_{n=0}^\infty est donc de cauchy

Posté par
ferencre : Suites de Cauchy 26-12-11 à 13:54

J'ai pas vu que t'as définition d'un suite de cauchy était un peu différente, mais adapte ma démonstration à ta définition, c'est pas très compliqué

Posté par
ferencre : Suites de Cauchy 26-12-11 à 13:55

mais tu étais sur la bonne voie

Posté par
tlsainere: suite de cauchy 26-12-11 à 14:03

Ah oui je comprend ta démarche.
Merci beaucoup !


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