Niveau Licence-pas de math

suites de Cauchy dans Qp

Posté par
louetcharles 25-04-21 à 14:44

Bonjour ,

Soit $x_{n}$ un élément de $Q_{p}$

Il faut prouver que les sommes partielles $S_{N}=\sum{x_{n}}$ ( la somme allant de 1 à N ) , forment une suite de Cauchy dans $Q_{p}$ si et seulement si

lim $\left|x_{n} \right|_{p}=0$

J'ai démarré en considérant $\left|x_{n}+x_{n+1}+x_{n+2}+........+x_{n+m} \right|=S_{m}-S_{n-1}$

Cette quantité doit tendre vers 0 pour être de Cauchy

Or $S_{m}-S_{n-1}$ $\leq$ max $\left|x_{k} \right|_{p}$ car la valeur absolue p-adique est ultramétrique

Il faut donc , pour que les sommes partielles soient de Cauchy que lim $\left|x_{n} \right|_{p}=0$

Est ce correct?

Merci beaucoup

Posté par re : suites de Cauchy dans Qp 25-04-21 à 14:50

Bonjour

C'est l'idée. Tu écris "il faut donc", non ce n'est pas nécessaire pour avoir une suite de Cauchy. Si la limite est nulle, alors c'est une suite de Cauchy.
Si la limite est non nulle, il faut montrer que ça ne peut pas converger.

Posté par re : suites de Cauchy dans Qp 25-04-21 à 18:00

Merci Camélia ,

Oui mais si la limite est non nulle , ce n'est pas une suite de Cauchy ? Ou je m' emmêle ?

Posté par re : suites de Cauchy dans Qp 26-04-21 à 15:35

C'est presque ça. Si la suite (|x_n|) ne tend pas vers 0, (ce qui veut dire qu'elle tend vers autre chose, ou qu'elle est divergente) il existe $a > 0$ et une suite extraite $(x_{n_k})$ telle que $|x_{n_k}|\geq a$ pour tout $k$ . je te laisse montrer que la suite $(S_n)$ n'est pas de Cauchy.