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suites de fonctions et convergence(2)
Me revoila avec un nouvel exercice:
Etudier la convergence simple et uniforme sur R,]0,+oo[ et [a,+oo[ a>0
voila pour H_aldnoer
pour la convergence simple pour fn il faut je pense distinguer si x=0 ou x différent de 0...
parce que la on fixe x et on regarde ce qui se passe pour n grand...
pour n grand,1/n->0 et fn(x)->f(x)=x/|x|...
pourquoi on peut pas distinguer le cas x=0?
bah si x>0 |x|=x donc f(x)=1
si x<0 |x|=-x doncf(x)=-1
voila non?
On a deja :
fn(0)=0 non ?
si x différent de 0, x>0, fn --> x/|x|=1
si x différent de 0, x<0n fb --> x/|x|=-1
Donc idem, fn converge simplement vers
f =
0 si x=0
1 si x>0
-1 si x<0
no ?
bah justement je crois pas!!
dans l'exercice convergence uniforme que j'avais poster, Kaiser et otto et un autre memebre m'expliquer qu'on fixait x et on regarder ce qui se passé pour n grand.
...?!
et bien on fixe x=0 et on regarde ca donne fn(x)=0.
on fixe x>0 et pour n grand fn --> x/|x|=1 car on a fixé x positif
etc... c'est pas pareil ?
non mais ok!
(mais regarde quand meme le sujet convergence uniforme que j'avais posté,c'est pas ininterressant...surtout qu'en td des comme ça,on apas trop vu.
j'en pense qu'on étudie ça:
en faite je comprend pas la différence entre ]0,+oo[ et [a,+oo[ avec a>0 :S
bref sur ]0,+oo[ on a :
donc ça cvu nop?
Viiii, après de longues péripéties j'trouve finalement pareil!
Donc c'est bien négatif donc la fonction décroit le sup vaut 0 donc |0-1|=1 ça cvu bien !
Faut faire le tableau de varition sur ]0,+oo[ comme ça décroit le sup est atteint en une valeur proche de 0. J'ai calculé lim de la fonction en 0 qui vaut 0!
Je pense que c'est ça.
eeuh en faite je suis pas sur pour la limite en 0 si c'est 0 ou 1!
Tu la calculée ?
Mais au final on obient que sup |fn-f|=1 sauf erreurs!
Si quelqu'un passe par ici et peut confirmer !!!
Bonjour, 
Je dis peut-être n'importe quoi, mais il me paraît quand même douteux que le sup d'une fonction positive soit nul, car cela voudrait dire que la fonction est identiquement nulle.
Fractal
mais le probleme c'est que si lim(fn(x)) quand x->0 c'est 0 alors comme fn(0)=0 il y a continuité en 0.
Donc sur R le probleme reste entier non?
pour moi la limite en 0 c'est 0.
Attend la c'est pour ]0,+oo[ non ??
Sur R, comme on a dit la limite n'étant pas continue c'est réglé je pense.
Maintenant sur ]0,+oo[ on a calculer fn(x) --> 1
On cherche sup |fn -1|.
Or fn<1 donc |fn-1|=1-fn dont l'étude nous donne la décroissance.
Le sup est donc atteint en une valeur limite à 0 on a calculé lim 1-fn = 1-0=1
Donc sup =1 ça cvu, nop ?
Ah oui Fractal!
Effectivement, donc après coup, je croyais avoir calculer mais le sup mais j'ai calculer la limite simple de fn, alors qu'il aurait fallut calculer lim 1-fn qui tend bien vers 1 (qui est différent de 0!)
oui mais sur R tu pensais à la discontinuité en 0 or ici...si lim en 0 c'est fn(0) y'a continuité?!
pour que ça converge uniformément il faut sauf erreur sur le sup de la différence entre fn et f converge vers 0.Ici tu trouves 1!
Oui mais je pense que finalement sur [a,+oo[ ça doit cvu!
Pourtant pour moi ]0,+oo[ et [a,+oo[ avec a>0 c'est pareil !
Le problème est en 0, donc c'est assez logique qu'il n'y ait pas CVU sur ]0,+oo[ car on est au voisinage de 0, par rapport à [a,+oo[ a>0 où l'on n'est pas au voisinage de 0.
Fractal
(re)-Bonsoir, robby3 et H_aldnoer.
Pour la convergence uniforme sur [a,+l'infini[: La borne supérieure de |f_n(x)-1| sur [a,+l'infini[ est égale à 1-f_n(a). Et comme f_n(a) converge vers 1 ...
Par ailleurs: la convergence uniforme sur ]0,+l'infini[ entraîne la convergence uniforme sur tout intervalle [a,+l'infini[, mais la réciproque est fausse: cet exemple le montre.
Oui, c'est bien ce que je trouve pour la cvu sur cet intervalle!
Je pense avoir saisi la différence entre le ]0,... et le [a,... ac a>0
Merci encore!
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