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suites de fonctions et convergence(5)
Bonjour à tous, voici encore un exerice,celui la me semble plus difficile que les précédents...
Donc en faite j'ai cherché la convergence simple et j'ai trouvé
Donc ensuite si fn converge uniformément sur [a,1] c'est vers sin(x)/x
donc ennsuite j'ai ça:
ensuite b):
sauf erreur.
par contre pour le endéduire je vois pas trop, on a montrer la CVU de fn sur [a,1] mais en 0 y'a un soucis! (discontinuité de la limite non,un coup on a 1 et un autre 0 donc je sais pas trop comment continuer...je vois pas non plus à quoi sert la majoration?)
Merci d'avance de votre aide.
Bonjour,
Attention, sur R+, on n'a pas en effet, il suffit de voir que ça marche pas en x=0.
Par contre, tu peux majorer le sinus par autre chose que 1. 
par contre pour la suite t'as une idée?
pourquoi cette majoration nous aide t-elle?
Je vois pas du tout!
je ne suis pas sur du tout, mais vu qu'on a seulement CVU sur [a,1], on a :
i) les fn intégrables sur [0,1]
ii) (fn) CVU vers f sur [a,1]
[0,1]
iii) il existe une fonction g définie et intégrable sur [0,1] telle que fn(t)
g(t) pour tout x et tout n
DONC par théorème on peut intervertir limite et intégrale.
Seulement on utilise ce théorème généralement sur des intervalles non bornées, mais je vois que ça qui utilise la majoration ( mais je ne sais pas si c'est juste ce que j'ai fait )
humm pourquoi les fn sont intégrables sur [0,1]?
il faut que fn soit continue en 0 de maniere indépendante des n non?
je comprend pas la suite, tu définie une autre fonction gn(t) tel que fn(t)<=gn(t) ...?? je vois pas qu'est -ce qu'on en fait de ce truc la?
les fn sont continues sur [0,1] donc intégrables, non ?
sinon, j'utilise un théorème ( que j'énonce plus ou moins dans mon message de 13:44 ) mais si tu l'as pas vu oublie.
tu l'as pas ce théorème là dans ton cours où on domine les fn pas une fonction g indépendant de n et intégrable sur I ?
en gros c'est un théorème pour montrer l'interversion limite-intégrale sur un intervalle non bornée ]a,b[ ( a et b pouvant etre infini )
il faut
i) CVU sur tout compact inclus dans ]a,b[
ii) fn intégrables
iii) existence d'une fonction g indépendante de n et intégrable sur ]a,b[ telle que fn(t) < g(t)
alors on peut intervertir.
à noter que le théorème que je connaissais n'utilise pas là CVU mais uniquement CVS des fn, fn intégrable et domination par une fonction g.
Je capte pas pourquoi ici on a besoin de la CVU mais bon.
c'est bizarre ça me dit quelque chose mais je l'ai pas dans mon cours!
mais je réitère ma question ceci c'est pour la question c)?
on a bien fn(t)<gn(t)...quoique qu'aprés on devrait s'en sortir avec la question b)...
mais pour la b) je vois pas du tout à quoi ça nous sert!
c'est bien pour la question b)
on a montré fn(t) < 1 on a donc bien l'hypothèse du théorème, avec g(t)=1 !
et la question a) nous assure la CVU sur tout compact
mais je le répète, c'est à prendre avec des pincettes ce que je dis.
étrange en tout cas que tu n'ai pas vu ce type de théorème, comment fais-tu poiur intervertir limite et intégrale sur des intervalles type [0,+oo[ ?
on fait avec la convergence unniforme c'est tout...
s'il n'y a pas convergence uniforme et bien on essaye de s'arranger en calculant l'intégrale...ou la limite selon la facilité...
donc je reprend ton raisonnement:
et la on peut interverti limite et intégrale mais on peut pas avoir égalité avec ce truc?
en fait je comprend pas comment on va se servir de cette remarque pour montrer une égalité entre interversion de symboles.
ok bon d'accord,on va dire que c'est bon
la question c) c'est dans le meme esprit non?
si oui, je pense que je vais faire u autre exercice...
La convergence uniforme sur tout compact ne permet pas d'intervertir limites et intégrales.
Ici c'est tout simplement le théorème de convervence dominée.
merci otto je viens de voir ça dans mon cours...on l'a jamais utiliser en TD?!
surprenant!
Merci de m'y avoir fait pensé!
Tu ne l'as peut être jamais utilisé en TD (ce qui est bizarre), mais retiens le parce que si tu dois n'en retenir qu'un seul, c'est bien lui !
Il y'a 4 résultats classiques d'intervertion limite/intégrales:
1-Convergence uniforme sur un espace borné (plus généralement de mesure fini, ce qui peut arriver même si l'espace est non borné)
2-Théorème de la convergence monotone :
si tu as f_n+1 (x) > f_n (x) > 0 pour tout x, et que tes f_n sont mesurables, alors la limite des intégrale existe et vaut l'intégrale de la limite (même si ca diverge).
3-Lemme de Fatou :
f_n >0 et mesurables pour tout n
alors intégrale de la lim inf < lim inf des intégrales
4- Théorème de la convergence dominée:
Si les f_n sont mesurables et s'il existe g dans L1 qui majore |f_n| pour tout n, alors
i- la limite p.p. f des f_n (sous reserve d'existence) est intégrable
ii- on peut permuter les intégrales.
J'ai mis les théorèmes dans leur ordre d'importance, mais il ne faut pas oublier que ce ne sont pas des caractérisations, et qu'il existe bien évidemment des contres exemples à leurs réciproques dans chaque cas.
a+
Mesurable signifie que tu peux prendre son intégrale en quelque sorte.
Si tu ne sais pas ce que c'est, alors oublie ce terme et ne te pose pas de questions.
Cependant, ca signifie aussi que tu n'as pas vu la théorie de la mesure, et donc que tu peux retrouver ces théorèmes dans ton cours, avec des hypothèses peut être plus restrictives.
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