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SUITES_en L1, commun

Posté par Tribal95 (invité) 01-11-05 à 23:21

Bonsoir tlm! bon je calle sur deux exercice donc si vous pouviez m'aider.. les voilà..

EXO 1

Soit A un nombre éel non nul et (un)n>22 une suite convergeant vers l appartenant à , telle que pour tout n, on ait |un-A||A|/5. Prouver que (4|A|)/5|l|.

EXO 2

On considère la suite(vn)n>=1 de terme général vn= nk=1  (-1)k /k. Montrer que les suites v2n et v2n-1 sont bien définies et adjacentes et en déduire le comportement de (vn)

Quelqu'un pourrait me dire qu'est ce qu je dois faire si vous plait?? j'ai un peu de mal.. pour l'exo 2 je sais qui'il faut trouver une suite décroissante, l'autre croissante et la limite de la différence des deux suites tendent vers 0.. mais j'ai un pe de mal..

Merci de votre aide..

Posté par
elhor_abdelali CorrecteurRE : SUITES_en L1, commun 02-11-05 à 03:11

Bonsoir Tribal95;
EXO 1
Tu as 3$\fbox{\forall n\\|u_n-A|\le\frac{|A|}{5}} c'est à dire que 3$\fbox{\forall n\\A-\frac{|A|}{5}\le u_n\le A+\frac{|A|}{5}}
Si 3$\fbox{A>0} tu as que 3$\fbox{\forall n\\\frac{4|A|}{5}=|A|-\frac{|A|}{5}=A-\frac{|A|}{5}\le u_n} et par passage à la limite que 4$\fbox{\frac{4|A|}{5}\le l}
Si 3$\fbox{A<0} tu as que 3$\fbox{\forall n\\-\frac{4|A|}{5}=-|A|+\frac{|A|}{5}=A+\frac{|A|}{5}\ge u_n} et par passage à la limite que 4$\fbox{-\frac{4|A|}{5}\ge l}
Conclusion:
5$\fbox{\frac{4|A|}{5}\le|l|}

EXO 2
Cet exercice est un cas particulier d'un résultat plus général connu sous le nom de "critère spécial de convergence des séries numériques alternées" dont l'énoncé est le suivant:
Si 3$\fbox{(a_n)_{n\ge n_0}} est une suite réelle tendant vers 0 en décroissant alors la série 3$\fbox{\Bigsum_{n\ge n_0}(-1)^{n}a_n} est convergente.
preuve:
Posons 3$\fbox{\forall n\ge n_0\\v_n=\Bigsum_{k=n_0}^{n}(-1)^{k}a_k} on a successivement que:
(*)3$\fbox{\forall n\ge n_0+1\\v_{2n}-v_{2n-1}=a_{2n}} et donc que 4$\fbox{\lim_{n\to+\infty}v_{2n}-v_{2n-1}=0}
(*)3$\fbox{\forall n\ge n_0\\v_{2n+2}-v_{2n}=a_{2n+2}-a_{2n+1}\le0} et donc que 4$\fbox{(v_{2n})_{n\ge n_0}\hspace{5}est\hspace{5}decroissante}
(*)3$\fbox{\forall n\ge n_0+1\\v_{2n+1}-v_{2n-1}=a_{2n}-a_{2n+1}\ge0} et donc que 4$\fbox{(v_{2n-1})_{n\ge n_0+1}\hspace{5}est\hspace{5}croissante}
Ces deux suites sont donc adjacentes et tendent par conséquent vers une limite réelle commune qui est aussi celle de la suite 4$(v_n)_{n\ge0} et par suite la série 4$\fbox{\Bigsum_{n\ge n_0}(-1)^{n}a_n} est bien convergente. CQFD

Dans ton exo tu as 4$\fbox{n_0=1\\a_n=\frac{1}{sqrt{n}}} je te laisse adapter la démonstration ci dessus à ton cas.

Sauf erreurs bien entendu

Posté par Tribal95 (invité)re : SUITES_en L1, commun 04-11-05 à 23:36

C'est bon merci beaucoup!!! j'ai compri ^^ j'ai partiel la semaine prochaine...donc faut que j'asimile les exos.. si j'ai des problemes avec d'autres exos.. je serai où les postez..

Merci encore et bonne soirée

Posté par Tribal95 (invité)re : SUITES_en L1, commun 05-11-05 à 19:29

j'ai une question... n'y aurait -il pas... comment dire..des astuces universelles selon les cas des différents chapitres de maths... je m'explique, par exemple pour étudier les limites, il y a différentes techniques a essayer afin de trouver la limite, ou pour les suites pour prouver telle suite est convergente ou autre...y a t il alor des ouvrages rassemblant toutes ces techniques universelles ou les ocnnaissez vous toutes et pour que ca marche à coup sûr ?? enfin c'est peut etre bete ma question.. mais elle me trotte dans la tete depuis assez longtemps lol

Posté par
lolo217re : SUITES_en L1, commun 05-11-05 à 20:09

une seule astuce : réfléchir ! (les maths c'est pas que des recettes de cuisines)


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