Bonjour,

POurriez-vous m'aider avec mon DM s'il-vous-plait? J'ai fait plusieurs questions mais je ne suis pas du tout sur de la validite de mes raisonnements... Voici l'enonce:

"u est un entier fixé, superieur ou egal a 2 et soit a un entier non nul.
1. Soi k appartenant a N*
Montrer que si
a=qu^k+a_k-1u^k-1+...+a₁u+a₀ où (q,a_k-1,...,a₀)N x [|0,u-1|]^k
alors _i=0^k-1a_iuⁱ est le reste de la division euclidienne de a par u^k.

2. Soit p appartenant a N*,
Montrer que si
a=a_pu^p+a_p-1u^p-1+...+a₀ où (a_p,a_p-1,...,a₀)[|1,u-1|] x [|0,u-1|]^p
alors, p=[log_u(a)]

3. Montrer que les relations de recurrence suivantes permettent de definir de maniere unique les suites d'entiers q_n, r_n et a_n:
    (i)nN*, a=q_n-1uⁿ+r_n-1 et 0r_n-1<uⁿ
    (ii) a₀=r₀
    (iii)nN*, q_n-1=qu+a_n et 0a_n<u
    (iv)nN*, r_n=a_nuⁿ+r_n-1

4. Montrer que q_n est decroissante, stationnaire et convergente vers 0.

Pour la 1.,
J'ai utilise la def de la division euclidienne et j'ai montre que
0_i=0^k-1a_iuⁱ<u^k et que q et cette somme sont uniques. Est-ce valable comme raisonnement??

Pour la 2. je n'ai pas reussi.... Pourriez vous m'aider SVP??

Pour la 3.:
J'avais commence a utiliser la question 1 avec k appartenant a N* et j'en concluait que la suite rn etait definie de maniere unique. Mais je ne sais pas si ca marche. Une autre methode que j'ai fait que je pense etre plus valable etait de remplacer dans l'expression de rn, r_n-1 par son expression obtenue avec (i) et ensuite l'expression de q_n-1obtenue avec (iii). Je trouvais a la fin, rn=a-quⁿ⁺¹ et j'en deduisait que rn etait definie de maniere unique et j'utilisais ce resultat pour demontrer qu'il en etait de meme avec les autres suites. Est-ce valable??

Pour la 4. J'ai reussi a montre que Qn etait decroissante.
Mais je n'arrive pas a montrer qu'elle est stationnaire.
J'ai une piste mais elle est tordue et je ne pense pas qu'elle soit valable: J'ai utilise
l'expression de rn trouvee a la question 3 en fonction de a,q et u^(n+1) pour dire que Rn tends vers +. Ensuite j'ai utilise (iv) et j'ai dit que Rn est extraite de R(n-1) et que Rn=Rn-1 tends vers 0 (je ne sais pas si j'ai le droit de dire ca) et j'en ai dedui que an tends vers 0 en + infini et que donc Q(n-1) tends vers q*u en +. Mais ca ne me donne pas que qn converge vers 0.... Pourriez-vous m'aider pour cette question egalement s'il-vous-plait???

Merci beaucoup d'avance pour votre aide!!
Ensuite