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Suites et complexe
Bonjour 
J'ai un exercice à faire en devoir à la maison sur les suites avec des complexes, et, je bloque dans une récurrence, j'aimerai donc juste que vous me metiez sur la voie !
Merci
Le plan complexe est muni d'un repere orthonormal direct (O;u,v). On note C le cercle de centre O et de rayon R > 0 et A le point de C d'affixe R.
Etant donnée un entier n>2, on note r la rotation de centre O d'angle 2pi/n.
On considere la suite de points (Mk)k>0 de C définie par la relation de recurrence Mk+1 = r(Mk) et la condition initiale M0 = A.
On note zk l'affixe de Mk.
1.
(a) Pour tout k > 0, exprimer zk+1 en fonction de zk.
Ici j'ai une application de ma formule de rotation:
zk+1 - 0 = e[i(2pi/n)] * (zk - 0)
Ce qui nous donne en fait:
zk+1 = zk * e[i(2pi/n)]
(b) Démontrer que zk = R * e[i(2kpi/n)] pour tout k > (ou égal) 0.
J'ai dit que zk est une suite géométrique de premier terme Z0 = affixe de M0 = affixe de A = R
et de raison q = e[i(2pi/n)]
On peut donc écrire la formule générale:
zk = z0 * q^k
zk = R * [ e[i(2pi/n)] ]^k
Je dois donc démontrer par récurrence:
Pk: e[i(2pi/n)] = [ e[i(2pi/n) ]^k
Je démontre P0 sans problème, mais pour démontrer P(n+1), je n'y arrive vraiment pas !
Pourriez vous m'aider ?
Merci
bonjour
non !
( exp(a) )^k = exp(ka)
c'est fini !
[ e[i(2pi/n)] ]^k = e[i(2kpi/n)]
Philoux
Stp, donne la suite de ton exo, il a l'air sympa...
Philoux
Bah vui Philoux, je suis tout à fait d'accord avec toi, mais j'ai dans mon énoncé:
"Démontrer que zk = R * e[i(2kpi/n)] pour tout k > (ou égal) 0. (on fera un raisonnement par récurrence sur k pour montrer que e[i(2kpi/n)] = [ e[i(2pi/n) ]^k)"
Donc ma récurrence est imposée non ?
Ce serai pas un peu simple sinon ?
C'est vrai que je pensais comme toi, mais si mon début te parait juste... visiblement je suis obligé de faire une récurrence.
Pour la suite:
(c) Comparer Mn et M0.
(d) Faire une figure lorsque n = 16 (on prendra R = 4 cm).
2.
(a) Prouver que, pour tout k > 0, MkMk+1 = 2Rsin(pi/n).
(b) On note :
Ln = M0M1 +M1M2 + · · · +Mn−1Mn
le périmètre du polygone régulier (M0, M1, . . . , Mn).
Déterminer la limite de Ln lorsque n tend vers +∞.
Interpréter géométriquement le résultat ainsi obtenu.
Vu que tu as l'air interressé, je vais poser des questions ici aussi.
Pour la comparaison, je n'en ai aucune idée encore donc je vais rien dire.
Par contre, pour faire la figure, on m'impose le n, mais pas le k ? Comment je dois faire ?
Je met le point M0, je lui fait subit une rotation avec n = 16 et ma figure est finie ?
Puis j'ai pas encore regardé la suite non pu... ^^
Merci
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