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suites et fonction dérivables

Posté par
karim 14-02-07 à 19:36

Bonsoir,
je bloque sur un petit exercice .
Soit f : [0;1] -> R dérivable en 0. U la suite définie par : Un = sigma(k=0... n ) (f(k/n²)). étudier la suite Un.
je ne sais pas quoi faire, et je ne vois pas la limite qu'il faut trouver.
Merci d'avance pour votre aide

Posté par
elhor_abdelali CorrecteurRe : suites et fonction dérivables. 14-02-07 à 20:08

Je crois que cet exercice a déjà été posté sur le forum si je ne me trompe (avec l'hypothèse supplémentaire f(0)=0) la limite est \fbox{\frac{f'(0)}{2}} je vais essayer de te trouver le lien sinon tu peux utiliser le moteur de recherche du forum à moins que kaiser s'en charge

Posté par
karimre : suites et fonction dérivables 14-02-07 à 20:27

hmmm, je voudrais bien que tu me sauves

Posté par
elhor_abdelali CorrecteurRe : suites et fonction dérivables. 14-02-07 à 20:37

Tu dois d'abord remarquer que l'hypothèse \red\fbox{f(0)=0} est nécessaire pour que cette limite soit finie tu peux en effet considérer la fonction x\to1+x (qui est bien dérivable en 0) et voir que 3$\fbox{\Bigsum_{k=0}^{n}f(\frac{k}{n^2})=\Bigsum_{k=0}^{n}1+\frac{k}{n^2}=n+1+\frac{1}{n^2}\Bigsum_{k=0}^{n}k=n+1+\frac{n+1}{2n}\to+\infty}

Posté par
karimre : suites et fonction dérivables 14-02-07 à 20:41

pourquoi tu choisis en particulier la fonction x-> 1+x, je crois que mon énoncé est plus général non ?

Posté par
elhor_abdelali CorrecteurRe : suites et fonction dérivables. 14-02-07 à 20:47

Est-tu sûr que l'énoncé ne comportait pas l'hypothèse \red\fbox{f(0)=0} car le résultat 3$\blue\fbox{\lim_{n\to+\infty}\Bigsum_{k=0}^{n}f(\frac{k}{n^2})=\frac{f'(0)}{2}} serait faux sans cette hypothèse

Posté par
karimre : suites et fonction dérivables 14-02-07 à 20:51

l'énoncé est devant mes yeux je suis sûr est certain, mais la question est d'étudier la suite, et non pas de montrer qu'elle converge, donc on aurait pas besoin de cette hypothèse il me semble !

Posté par
elhor_abdelali CorrecteurRe : suites et fonction dérivables. 14-02-07 à 22:23

On a par définition de la dérivabilité de f en 0 : 2$\fbox{f(x)=f(0)+xf'(0)+o(x)} c'est à dire que 2$\fbox{f(x)=f(0)+xf'(0)+x\varphi(x)} avec 2$\fbox{\lim_{x\to0}\varphi(x)=0} donc pour tout réel \varepsilon>0 on peut trouver un réel \alpha>0 tel que pour tout réel x on ait 2$\fbox{0<x<\alpha\Longrightarrow|f(x)-f(0)-xf'(0)|< x\varepsilon} choisissons alors N un entier non nul tel que \frac{1}{N}<\alpha on peut écrire pour tout entier naturel n\ge N et tout k\in\{0,1,..,n\} 2$\fbox{|f(\frac{k}{n^2})-f(0)-\frac{k}{n^2}f'(0)|< \frac{k}{n^2}\varepsilon\le\frac{\varepsilon}{n}} et donc 3$\fbox{\underb{|\Bigsum_{k=0}^{n}f(\frac{k}{n^2})-f(0)-\frac{k}{n^2}f'(0)}_{S_n}|\le\Bigsum_{k=0}^{n}\frac{\varepsilon}{n}=\frac{n+1}{n}\varepsilon\le2\varepsilon}
Développons maintenant la somme à l'intérieur de la valeur absolue qui tend vers 0 d'aprés ce qui précéde:
4$\blue\fbox{S_n=\Bigsum_{k=0}^{n}f(\frac{k}{n^2})-(n+1)f(0)-\frac{n+1}{2n}f'(0)}

Conclusion:
Si 2$\red\fbox{f(0)=0} alors 3$\blue\fbox{\lim_{n\to+\infty}\Bigsum_{k=0}^{n}f(\frac{k}{n^2})=\frac{f'(0)}{2}} (la suite est convergente dans ce cas)
Si 2$\red\fbox{f(0)\neq0} alors la suite est équivalente à 3$\blue\fbox{n.f(0)} donc tend vers \pm\infty suivant le signe de f(0). (sauf erreur bien entendu)


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