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suites et nombre d'or

Posté par
tapanga 21-11-22 à 17:52

Bonjour

J'ai un problème à résoudre cet exercice, je ne sais pas par quel bout le prendre : merci par avance pour votre aide

1)  Pour tout entier n1,
qn+2= qn+1 + qn
Considérons le nombre d'or =(5 +1)/2
-->Montrer que qn est l'entier le plus proche du réel 1/5  * n+1

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : suites et nombre d'or 21-11-22 à 19:04

Bonsoir tapanga


il me semble que tu as oublié de préciser que \Large\boxed{q_0=q_1=1}


une idée :

Tu peux commencer par montrer que pour tout entier naturel n on a, \Large\boxed{q_n=\frac{1}{\sqrt5}\varphi^{n+1}-\frac{1}{\sqrt5}\left(-\frac{1}{\varphi}\right)^{n+1}} sauf erreur de ma part bien entendu

Posté par
tapangare : suites et nombre d'or 21-11-22 à 19:23

oui j'ai loupé une ligne
ok merci

Posté par
tapangare : suites et nombre d'or 21-11-22 à 19:44

Que représente cette expression? Comment en êtes vous arrivés à démarrer de cette façon ?

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : suites et nombre d'or 21-11-22 à 21:18

Eh bien c'est parce que \left(q_n\right) est une suite récurrente linéaire d'ordre 2 à coefficients constants

dont l'équation caractéristique est \Large\boxed{r^2-r-1=0} qui admet pour racines \varphi et -\frac{1}{\varphi}

le cours donne alors l'expression \Large\boxed{q_n=a(\varphi)^n+b(-\frac{1}{\varphi})^n}

où les constantes a et b se calculent par la donnée des deux premiers termes \Large\boxed{q_0=q_1=1}

Posté par
tapangare : suites et nombre d'or 21-11-22 à 23:18

SUPER , merci beaucoup pour l'explication, c'est super clair!
J'ai réussi ma démonstration grâce à vos précieuses indications.
Encore merci Elhor_Abdelali

Posté par
elhor_abdelali Correcteurre : suites et nombre d'or 22-11-22 à 06:23

C'est un plaisir tapanga


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