salut,

fais une récurrence avec (n-1) et (n-2)

bonsoir,

La propriété est vérifiée aux premiers rangs(0 et 1). Maintenant supposons qu'elle est vraie jusqu'au rang n+1
et montrons qu'elle est vraie au rang n+2 .

on a : Unn  n
       Un+1 n+1 n
leur somme donne:
Un+2 = Un+1 + Un 2n+1
Comparons 2n+1 et n+2
on a : 2n+1-n-2=n-10 donc 2n+1 n+2
donc Un+2 n+2    cqfd

Pour la limite, on utilise le fait que Un est minorée par n qui tend vers plus l'infini donc il tend aussi vers plus l'infini.

Merci pour vos réponses
3) il me faut démontrer que quelque soit n appartenant a IN on a:
UnUn+2 - (Un+1)² = (-1)^n
On me donne comme indication qu'on pourra démontrer que la suite (@n) définie par quelque soit n apparteant a IN on a @n = UnUn+2 - (Un+1)²qui est géométrique.

Si vous pouviez me donner un coup de pouce ce serait sympa

Un(Un+1+Un) - (Un+1)²/  Un+1(Un+2+Un+1) - (Un+2)²=
Un(Un+1+Un) - (Un+1)²/  Un+1(Un+2Un+1) - (Un+1 + Un)²=
Un(Un+1+Un) - (Un+1)²/  Un+1(Un+2Un+1) - Un+1² - 2UnUn+1 - Un²=
Un² + UnUn+1 - Un+1²/   -Un² - UnUn+1 + Un+1²= -1

d'ou @n/@n+1 = -1

Bonjour,

Je ne vois pas où est la difficulté.

On remarque que :



On remplace par
On remplace par
On obtient, après calculs simplissimes :


Donc la suite est géométrique de raison -1.

Sauf erreur.

Nicolas

Je tiens a remercier tout ceux qui m'ont répondu notamment Nicolas 75
Maintenant on pose:
Vn = (Un+1)/Un, puis Xn = V2n et Yn = V2n+1 pour tout entier naturel n ;
a) Démontrer la relation Vn+1 = 1 + 1/Vn pour tout entier naturel.
Là je n'ai pas eu de problème
b) Démontrer la relation Vn+2 - Vn = (-1)^n/(UnUn+2) pour tout n appartenant à IN.
Là par contre j'ai commencé par simplifier Vn+2-Vn mais je tourne en rond, jai le dénominateur mais pas le numérateur.
Si vous pouviez m'aider...
Je vous remerci par avance...

bonsoir
Vn+1=(Un+2)/(Un+1)
    =[(Un+1)-Un]/(Un+1)
    =(Un+1)/(Un+1) -(Un)/(Un+1)
    =1 - 1/[(Un-1)/(Un)]
    =1 - 1/Vn

je me suis trompe de signe   c'est +Un

Vn+2 -Vn= 1+1/(Vn+1) -Vn
        =1 + 1/[1+1/Vn] -Vn
        =1+ (Vn)/(Vn +1) -Vn
        =[Vn + 1 +Vn -(Vn)²-Vn]/(Vn + 1)
        =[Vn -(Vn)² +1]/(1+Vn)
        =[(Un+1)/Un - (Un+1)²/(Un)² +1]/[(Un+1)/Un  +1]
        ={UnUn+1  -(Un+1)² +(Un)²]/{(Un)²}/[(Un+1)+Un)/Un}
tu peux continuer cetteidee
        

merci drioui