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Suites et séries

Posté par
matix 07-10-07 à 12:04

Bonjour,

J'ai là un exercice qui me pose pas mal de difficultés. Je poserai sans doute plus d'une question, mais commençons par une première.

Je cherche à montrer que pour toute suite u appartenant à l'espace vectoriel des suites réelles (u_n)_{n \in \mathbb{N}} telles que \sum |u_n|, n \in \mathbb{N}, converge, alors sup \, |u_n| \in \mathbb{R}.

Je ne vois pas du tout comment m'y prendre... Avez-vous une idée?
Merci.

Posté par
Tigweg Correcteurre : Suites et séries 07-10-07 à 12:06

Bonjour matix, que dire du terme général d'une suite convergente?


Tigweg

Posté par
Tigweg Correcteurre : Suites et séries 07-10-07 à 12:06

d'une série convergente*, désolé!!

Posté par
matixre : Suites et séries 07-10-07 à 12:07

On peut dire que ce terme général tend vers O en l'infini.

Posté par
Tigweg Correcteurre : Suites et séries 07-10-07 à 12:09

Voui m'sieur!

Et que dire de la borne supérieure d'une suite convergente?

Posté par
matixre : Suites et séries 07-10-07 à 12:18

Euh... là je bloque davantage..

Posté par
matixre : Suites et séries 07-10-07 à 12:22

Ou alors...

==> Dans le cas où la série est convergente, il me semble que sa somme est la borne supérieure de ses sommes partielles... non?

Posté par
Tigweg Correcteurre : Suites et séries 07-10-07 à 12:25

D'accord!

Soit u une suite réelle de limite l.

Choisis \epsilon=1 et applique la définition de la convergence.

Il existe un rang p tel que pour n\ge p on ait l-1\le u_n\le l+1.

Comment faire pour en déduire un majorant de 4$\{u_n, n\in \mathbb{N}\} ?

Posté par
Tigweg Correcteurre : Suites et séries 07-10-07 à 12:27

Citation :
il me semble que sa somme est la borne supérieure de ses sommes partielles... non?



>Oui si la série est à termes positifs, mais ne confonds pas les sommes partielles avec le terme général de la série, c'est de lui qu'on parle.

En fait tu peux oublier qu'on est parti d'une série, seul compte le fait que ton terme général admet une limite.

Posté par
matixre : Suites et séries 07-10-07 à 12:28

Pourquoi choisir \epsilon = 1?
Concernant le majorant, je ne vois pas..

Posté par
Tigweg Correcteurre : Suites et séries 07-10-07 à 12:29

Citation :
Pourquoi choisir \epsilon = 1?


>Tout autre choix aurait convenu, c'est juste pour fixer les idées!

Par quoi sont majorés les termes de ta suite lorsque n\ge p?

Posté par
matixre : Suites et séries 07-10-07 à 12:33

Par l+1 ?

Posté par
Tigweg Correcteurre : Suites et séries 07-10-07 à 12:35

Oui!

Donc que reste-t-il à prouver si l'on veut s'assurer qu'il existe un majorant commun à tous les termes de la suite?

Posté par
matixre : Suites et séries 07-10-07 à 12:37

Passer au sup? Je dis ça, mais je n'en suis pas convaincu..

Posté par
Tigweg Correcteurre : Suites et séries 07-10-07 à 12:39

Non!

On a fixé l'entier p?
On a majoré une partie des termes de la suite, ceux de rang supérieur à p.

On cherche à présent un majorant valable pour TOUS les termes de la suite, comment le choisir?

Posté par
Tigweg Correcteurre : Suites et séries 07-10-07 à 12:39

Je voulais écrire: On a fixé l'entier p, sans point d'interrogation!

Posté par
matixre : Suites et séries 07-10-07 à 12:41

Honnêtement, je ne sais pas..

Posté par
Tigweg Correcteurre : Suites et séries 07-10-07 à 12:45

Ok prenons un exemple.

Imaginons que un converge vers 5, et qu'à partir de l'entier p=4, tous les un soient majorés par 6.

Imaginons que les 4 premiers termes de la suite soient :


u_0=32;u_1=1;u_2=-13;u_3=10.


Peux-tu me donner un majorant valable pour tous les termes de la suite?

Posté par
matixre : Suites et séries 07-10-07 à 12:53

Euh..  Etant donné qu'après ces quatre premiers termes, tous les u_n sont majorés par 6... Je ne vois pas comment donner un majorant à tous les termes... Peut-être 32?

Posté par
Tigweg Correcteurre : Suites et séries 07-10-07 à 12:55

Bien sûr!C'est ça un majorant!

Tous les termes ui sont bien inférieurs!

A présent, essaie d'adapter cela au cas général!

Posté par
matixre : Suites et séries 07-10-07 à 12:57

Je réfléchis...

Posté par
Tigweg Correcteurre : Suites et séries 07-10-07 à 13:00

OK

Posté par
matixre : Suites et séries 07-10-07 à 13:00

mmm... ==> |l+1| ?

Posté par
Tigweg Correcteurre : Suites et séries 07-10-07 à 13:05

Non, il faut essayer d'adapter le cas particulier précédent!
Qu'as-tu pris comme majorant global par rapport à l+1 avant?

De plus tes valeurs absolues ne servent à rien.

Posté par
matixre : Suites et séries 07-10-07 à 13:09


Il ne me semble pas qu'on ait pris un autre majorant que l+1 si?

Posté par
Tigweg Correcteurre : Suites et séries 07-10-07 à 13:27

Mais si, puisque l+1 valait 6!

Il a fallu majorer par 32 car certains des premiers termes de la suite dépassaient l+1.

Posté par
matixre : Suites et séries 07-10-07 à 14:05

Mais dans mon cas, qu'est-ce qui dépasse l+1?

Posté par
Tigweg Correcteurre : Suites et séries 07-10-07 à 14:17

Eh bien éventuellement l'un (ou davantage!) des p premiers termes de la suite non?

Posté par
matixre : Suites et séries 07-10-07 à 14:18

Eventuellement oui, mais on n'en sait rien..

Posté par
matixre : Suites et séries 07-10-07 à 14:20

Mais à ce moment là, un autre majorant serait l+1+|u_p|?

Posté par
Tigweg Correcteurre : Suites et séries 07-10-07 à 14:24

Et si |u1| est encore plus grand?

Mais tu te rapproches du bon raisonnement!

Posté par
matixre : Suites et séries 07-10-07 à 14:26

p peut-être égal à 1...

Posté par
matixre : Suites et séries 07-10-07 à 14:31

Ou alors: l+1+ \sum_{k=0}^p \, u_k ... Je m'enflamme?

Posté par
Tigweg Correcteurre : Suites et séries 07-10-07 à 14:31

Il peut ne pas être égal à 1 aussi!

A quelle condition sur les p premiers termes peut-on garder l+1 comme majorant global?

Posté par
Tigweg Correcteurre : Suites et séries 07-10-07 à 14:32

C'est parfait!

Ca marche très bien (sauf que tu peux arrêter ta somme à p-1,par hbypothèse on a déjà que le p ème terme est inférieur à l+1 )

Reste à le prouver rigoureusement en séparant deux cas de figure!

Posté par
matixre : Suites et séries 07-10-07 à 14:33

Il faudrait que (l+1) \geq \sum_{k=0}^p \, |u_k| non?

(voir mon message de 14.31 aussi)

Posté par
matixre : Suites et séries 07-10-07 à 14:34



Citation :
Reste à le prouver rigoureusement en séparant deux cas de figure!


Comment ça? Pourquoi?

Posté par
Tigweg Correcteurre : Suites et séries 07-10-07 à 14:35

Enfin il suffirait,pas il faudrait!

J'ai répondu avant au message de 14h31

Posté par
Tigweg Correcteurre : Suites et séries 07-10-07 à 14:35

Essaie de le prouver, je regarde!

Posté par
matixre : Suites et séries 07-10-07 à 14:37

Je relis la question de départ, et je ne vois pas comment avec tout ça on va pouvoir arriver au résultat.

Posté par
matixre : Suites et séries 07-10-07 à 14:38

Je ne comprends pas ce qu'on cherche à montrer là, et dans quel but..

Posté par
Tigweg Correcteurre : Suites et séries 07-10-07 à 14:45

On veut montrer que tous les termes de la suite sont majorés par un même nombre.
C'est ainsi qu'onprouve que le sup de la suite est réel

Posté par
matixre : Suites et séries 07-10-07 à 14:51

Citation :
On veut montrer que tous les termes de la suite sont majorés par un même nombre.

Ne veut-on pas plutôt montrer que sup \, |u_n| est un réel si la série de terme général u_n cv?

Et jusque là, on a trouvé un majorant à |u_n|, \forall n, n'est-ce pas? Où est le lien?

Un petit récapitulatif s'impose il me semble...

Posté par
Tigweg Correcteurre : Suites et séries 07-10-07 à 14:53

La série converge donc le terme général tend vers 0 donc il existe un majorant M commun à tous les u_n, égal à ce que tu écris à14h31.

Donc sup |u_n| majoré par ce nombre M, donc le sup est réel

Posté par
matixre : Suites et séries 07-10-07 à 14:53

Et pourquoi si tous les termes de la suite sont majorés par un même nombre impose-t-il que le sup de la suite est réel?
Désolé pour toutes ces questions... mais j'aimerais que ce soit clair dans ma tête!

Posté par
Tigweg Correcteurre : Suites et séries 07-10-07 à 14:55

Je t'ai répondu

Par contre il faut prouver rigoureusement que tous les u_n sont majorés par M!

Posté par
matixre : Suites et séries 07-10-07 à 15:06

Comment fait-on cela?

Posté par
Tigweg Correcteurre : Suites et séries 07-10-07 à 15:10

Eh bien tu as uncandidat pour M, prouve que tous les |u_n| sont inférieurs à M!

Posté par
matixre : Suites et séries 07-10-07 à 16:50

Après réflexion, je sèche.. Un point de départ stp?

Posté par
Tigweg Correcteurre : Suites et séries 07-10-07 à 17:12

Si n est inférieur ou égal à p-1 alors par positivité des termes de la suite,

4$u_n \le u_0+u_1+...+u_p\le\bigsum_{k=0}^pu_k+l+1.

Si n est supérieur ou égal à p, alors


4$u_n\le l+1\le M


donc c'est bien réglé pour tout n!


Conclusion:




La borne supérieure cherchée existe bien (autrement dit: est réelle) et on a même:


4$\sup_{n\in\mathbb{N}}u_n\le M



Remarque: cette démo marche encore pour des suites à valeurs quelconques (pas seulement positives) à condition de remplacer M par

max(l+1, max(u0, u1,...up-1),

ce qui marche aussi dans notre cas.

C'est même plus élégant car cela fournit une meilleure majoration de la borne sup que le M que tu as défini.




Tigweg


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