salut ! j'ai un long problème pour ce weekend et je trouve du mal à le finir seule .
soit a un réel strictemnt positif . pour n entier non nul , on considère

l'application Un , de [0,+00[ vers R définie par : Un(x) = x / ( 1 + n^(a + 1 ) x^2 ) .

j'ai montré que :

1 / la série des Un converge simplement sur [0, +00[

2/ la série des Un converge normalement sur [b,c] , b et c deux réels

3/ la série des Un converge normalement sur [0,+00[ si et seulement si

a >1

4/ quand a < ou égal à 1 , la série des Un n'est pas uniformément

convergente sur [0,b] où b strictement positif .

soit S l'application de [0,+00[ vers R définie par S = somme de n=1 à n=+00 de Un

je dois montrer que :

1/ pour tout a , S est continue sur ]0.+00[

2/ si a > 1 , alors S est continue sur [0,+00[

3/ on suppose que a < ou égale à 1 , soit x strictement positif , soit

l'application définie sur [1,+00[ par t---> f(t) = x / (1 + t ^(a+1) x^2)

a/ après avoir justifié l'integrabilité de f , montrer que l'intégrale de 1 à +00 de f(t)dt <ou égal S(x) .

b/ calculer l'intégral de 1 à +00 de (x / ( 1 + (t^2)( x^2)) dt

c/ en déduire que S(x) est équivalente à Z ( a+1) / x lorsque x tend vers

+00 ( Z(x) = somme de n =1 à +00 de 1 / n^x )

e / étudier en fonction de a la dérivabilité de S sur [0, +00 [ .

j'ai de problèmes avec le latex c'est pour ça , , en tout cas j'éspère
je trouverai de l'aide .

merci d'avance