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Suites et Somme de termes

Posté par
Laptia
22-11-20 à 17:05

Bonjour, je dois faire cet exercice mais je sèche complètement, pouvez-vous m'aider svp ?
sujet : On considère la suite (un) définie par :  
u0=1 , u1=3  , un+2=(1/2)*a^2 un+1+(a-3)*un.
Soit la suite (vn) définie par vn=un+1-un pour tout entier naturel n.
On pose a=-4
1)Vérifier que (vn )  est une suite géométrique de raison 7.
2)Exprimer (vn ) en fonction de n.
3)Calculer Tn=v_0+v_1+⋯+vn en fonction de n.
4)Montrer que pour tout n∈N, Tn=(un+1)-1.
5)En déduire un  en fonction de n.
6)La suite Un est-elle convergente ?
J'ai déjà fais la question 1 (Vn+1=7*Vn) et la question 2 (Vn=Vo*q^n=2*7^n) mais le reste je sèche !
Merci à vous

Posté par
carita
re : Suites et Somme de termes 22-11-20 à 17:08

bonjour

tu peux préciser l'énoncé ?
un+2=(1/2)*a^2 un+1+(a-3)*un.   ---- qui est "a" ?

Posté par
Laptia
re : Suites et Somme de termes 22-11-20 à 17:11

Oui, a=-4 donc
Un+2=(8Un+1)-(7Un)

Posté par
carita
re : Suites et Somme de termes 22-11-20 à 17:12

oups pas vu On pose a=-4

tes résultats sont exacts

3)Calculer Tn=v_0+v_1+⋯+vn en fonction de n.  
tu as une formule que la somme des termes d'une suite géométrique, dans le cours

Posté par
carita
re : Suites et Somme de termes 22-11-20 à 17:12

tu as une formule sur la somme ...

Posté par
Laptia
re : Suites et Somme de termes 22-11-20 à 17:14

En appliquant la formule, il me semble que Tn=2*((7^n+1)/7)

Posté par
carita
re : Suites et Somme de termes 22-11-20 à 17:20

erreur application de la formule
montre le détail si tu veux

Posté par
Laptia
re : Suites et Somme de termes 22-11-20 à 17:30

Ah non il semble que je me sois trompé.
Tn = premier terme*(1 -q^nombre de termes/1 - q)
Tn=2*(1-7^n+1)/1-7
Tn=2*(1-7^n+1)/6

?? quand je rentre ça dans ma calculatrice je n'obtiens  pas la même courbe que celle de 2*7^n donc je crois que je me suis trompé mais je sais pas vraiment comment faire

Posté par
carita
re : Suites et Somme de termes 22-11-20 à 17:31

tu la retrouveras ici si besoin Tout ce qui concerne les suites géométriques

Posté par
carita
re : Suites et Somme de termes 22-11-20 à 17:32

messages croisés

erreur de signe

Tn = premier terme*(1 -q^nombre de terme)/(1 - q)   ---- les ( ) sont obligatoires
Tn=2*(1-7^(n+1))/(1-7)
Tn=2*(1-7^(n+1))/6

Posté par
carita
re : Suites et Somme de termes 22-11-20 à 17:36

4)Montrer que pour tout n∈N, Tn=(un+1)-1.

écris sur ta feuille
T_n=v_0+v_1+v_2 + ⋯v_(n-2) + v_(n-1)+v_n
en  remplaçant chaque terme par sa définition

que constates-tu ?

Posté par
Laptia
re : Suites et Somme de termes 22-11-20 à 17:53

Tn=2+14+98+686+...+2*7^n
Je remarque que Vn+1=7Vn
Mais je ne sais pas quel lien faire avec Tn

Posté par
carita
re : Suites et Somme de termes 22-11-20 à 17:58

ce n'est pas ce que j'attendais, ne remplace pas par les valeurs mais par les expressions

T_n=v_0+v_1+v_2 + ⋯v_(n-2) + v_(n-1)+v_n

T_n=(u_1 - u_0) +  ... à toi

Posté par
Laptia
re : Suites et Somme de termes 22-11-20 à 18:01

Tn=(u1-u0)+(u2-u1)+(u3-u2) + ... + (un+2- un-1)
Et ensuite ? j'avoue que je ne sais pas vraiment là

Posté par
carita
re : Suites et Somme de termes 22-11-20 à 18:02

il en manque à la fin.

regarde mieux... u_1.....  - u_1....

Posté par
carita
re : Suites et Somme de termes 22-11-20 à 18:04

Laptia @ 22-11-2020 à 18:01

Tn=(u1-u0)+(u2-u1)+(u3-u2) + ... + (un+2- un-1)
et revois l'indice en rouge, il est faux

Posté par
Laptia
re : Suites et Somme de termes 22-11-20 à 18:04

Tn=(u1-u0)+(u2-u1)+(u3-u2) + ... + (un+2- un+1)+(un+1-un)
je ne comprend pas vraiment je suis mauvais en maths

Posté par
carita
re : Suites et Somme de termes 22-11-20 à 18:06

non, non, pas d'excuse bidon... tu vas trouver

carita @ 22-11-2020 à 18:02

regarde mieux... u_1 - u_1....

tu as une somme de termes, dont certains vont s'.....?

Posté par
carita
re : Suites et Somme de termes 22-11-20 à 18:08

Laptia @ 22-11-2020 à 18:04

Tn=(u1-u0)+(u2-u1)+(u3-u2) + ... + (un+2- un+1)+(un+1-un)

revois ces indices

Posté par
Laptia
re : Suites et Somme de termes 22-11-20 à 18:11

Tn=(u1-u0)+(u2-u1)+(u3-u2) + ... + (un-2- un-1)+(un-1-un) ?

Posté par
carita
re : Suites et Somme de termes 22-11-20 à 18:13

Tn=(u1-u0)+(u2-u1)+(u3-u2) + ... + (un- un-1)+(un+1-un)

allez, barre tout se qui va s'annuler

Posté par
Laptia
re : Suites et Somme de termes 22-11-20 à 18:18

je suis désolé mais là je ne vois pas du tout

Posté par
Laptia
re : Suites et Somme de termes 22-11-20 à 18:24

Laptia @ 22-11-2020 à 18:18

je suis désolé mais là je ne vois pas du tout

j'essaye mais franchement je ne vois pas du tout où tu veux en venir

Posté par
carita
re : Suites et Somme de termes 22-11-20 à 18:25

tu pousses un peu, là

écris la somme sur ta feuille, et regarde ce qui s'annule

Posté par
carita
re : Suites et Somme de termes 22-11-20 à 18:25

enlève les ( ) peut-être tu verras mieux

Posté par
Laptia
re : Suites et Somme de termes 22-11-20 à 18:28

j'ai tout essayé ça fait 5 fois que j'écris la somme sur une feuille mais je ne comprend pas

Posté par
Laptia
re : Suites et Somme de termes 22-11-20 à 18:29

Laptia @ 22-11-2020 à 18:28

j'ai tout essayé ça fait 5 fois que j'écris la somme sur une feuille mais je ne comprend pas

quand je dis que je suis mauvais, c'est vrai !

Posté par
carita
re : Suites et Somme de termes 22-11-20 à 18:37

Tn=(u1-u0)+(u2-u1)+(u3-u2) + ... + (un-2- un-1)+(un-1-un)

qu'est ce qui va rester quand tu auras tout simplifié ?

Posté par
carita
re : Suites et Somme de termes 22-11-20 à 18:38

carita @ 22-11-2020 à 18:13

Tn=(u1-u0)+(u2-u1)+(u3-u2) + ... + (un- un-1)+(un+1-un)


ici, il y a les bons indices...

Posté par
Laptia
re : Suites et Somme de termes 22-11-20 à 18:40

carita @ 22-11-2020 à 18:37

Tn=(u1-u0)+(u2-u1)+(u3-u2) + ... + (un-2- un-1)+(un-1-un)

qu'est ce qui va rester quand tu auras tout simplifié ?

mais qu'entends-tu par simplifier ?

Posté par
Laptia
re : Suites et Somme de termes 22-11-20 à 18:42

je ne comprend absolument pas ça fait 20 minutes que je suis sur le même calcul et je ne comprend rien

Posté par
carita
re : Suites et Somme de termes 22-11-20 à 18:43

Laptia....

u1 - u1 = ....?

u2 - u2 = ....?

Posté par
Laptia
re : Suites et Somme de termes 22-11-20 à 18:44

u1 - u1 = 0

u2 - u2 =0

Posté par
carita
re : Suites et Somme de termes 22-11-20 à 18:46

ben voilà !

donc des termes vont s'annuler
à la fin il va en rester ....? lesquels ...?

et s'il te plait, relis mon message de 18h13

Posté par
Laptia
re : Suites et Somme de termes 22-11-20 à 18:48

Tn=-U0-Un-1+Un+1

Posté par
carita
re : Suites et Somme de termes 22-11-20 à 18:49

Tn=-U0-Un-1+Un+1

celui en rouge n'y sera plus

et comme U0 = ....?

on obtient Tn = ....?

Posté par
Laptia
re : Suites et Somme de termes 22-11-20 à 18:51

Tn=-1+Un+1
ENFIN, par contre je viens de voir qu'on vient du coup de répondre à la question 4 du coup tant mieux !

Posté par
Laptia
re : Suites et Somme de termes 22-11-20 à 18:53

Ensuite, question e : En déduire un   en fonction de n.
Je suppose qu'il faut utiliser l'égalité prouver précédemment donc
Un+1=Tn  + 1

Posté par
carita
re : Suites et Somme de termes 22-11-20 à 18:53

5)En déduire un  en fonction de n.

de la relation obtenue en 4), tu extrais  un+1 = .....

puis tu utilises l'expression explicite de Tn (obtenue en 3)

et tu déduis un = ... en fonction de n

Posté par
carita
re : Suites et Somme de termes 22-11-20 à 18:54

6)La suite Un est-elle convergente ?

en utilisant la réponse du 5), calcule la limite de (Un) en +inf
que trouves-tu ?
donc...?

Posté par
Laptia
re : Suites et Somme de termes 22-11-20 à 18:55

Un+1= (u1-u0)+(u2-u1)+(u3-u2) + ... + (un-2- un-1)+(un-1-un) +1
et ensuite ?

Posté par
carita
re : Suites et Somme de termes 22-11-20 à 18:58

4)   Tn= Un+1  - 1    oui

5) En déduire un   en fonction de n.
Je suppose qu'il faut utiliser l'égalité prouver précédemment   ---- oui
Un+1=  Tn  + 1    ----    oui

puis relis 18h53

Posté par
Laptia
re : Suites et Somme de termes 22-11-20 à 19:00

Un+1=Tn-1
Un+1=(Un+1)-1-1
Un+1=(Un+1)-2
?

Posté par
carita
re : Suites et Somme de termes 22-11-20 à 19:02

carita @ 22-11-2020 à 18:53

5)En déduire un  en fonction de n.

de la relation obtenue en 4), tu extrais  un+1 =   Tn  + 1    ----- fait

puis tu utilises l'expression explicite de Tn (obtenue en 3)  <===

et tu déduis un = ... en fonction de n

Posté par
Laptia
re : Suites et Somme de termes 22-11-20 à 19:04

Tn=Un+1 -1
donc Un+1= Tn -1

Un+1= (Un+1 -1) -1
Un+1= (Un+1) -2
qu'elle est le problème ?

Posté par
carita
re : Suites et Somme de termes 22-11-20 à 19:06

si je reprends ce que tu as écrit

Tn=Un+1 -1
donc Un+1= Tn +1

Un+1= (Un+1 +1) -1
Un+1= Un+1 ---- le chat égale le chat  

quel est le résultat de la question 3 ?

Posté par
Laptia
re : Suites et Somme de termes 22-11-20 à 19:07

Le résulat de la question 3 est :
Tn= (u1-u0)+(u2-u1)+(u3-u2) + ... + (un-2- un-1)+(un-1-un)

Posté par
carita
re : Suites et Somme de termes 22-11-20 à 19:08

oups, inversion des signes, je rectifie :

Un+1= Tn +1

Un+1= (Un+1 -1) +1  = Un+1
on retombe sur nos pattes

Posté par
Laptia
re : Suites et Somme de termes 22-11-20 à 19:10

je ne comprend pas comment trouver Un avec Tn=Un+1 -1

Posté par
carita
re : Suites et Somme de termes 22-11-20 à 19:11

résultat du 3)  : ce n'est pas ce que tu dis

c'est 17h32, mais corrigé
(que tu ne m'as pas montré, mais je suppose que tu l'as corrigé sur ta feuille)

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