Bonjour Laurerie

Pour la 1), utilise l'égalité des accroissements finis.

pour la 3)b) comme les deux suites sont de monotonies contraires, alors elles sont adjacentes si et seulement si la différence tend vers 0.
Ensuite utilise la question 1).

Kaiser

Bonsoir Kaiser. J'ai essayé d'utiliser l'inégalité des accroissements finis mais je n'y arrive pas.

Pour la 3b. cela a été mon premier reflexe d'énoncé ce que tu as dis. Voici ce que je propose: lim(s"n-s'n)=0 =>lim(f'(n+1)-f'(n))=0 =>lim f'(x+1)-f'(x)=0=>lim f'(x)-f(x-1)=0 et par encadrement, lim f'(x)=0.

Mais il me manque un sens: si lim f'(x)=0, comment montrer que la différence tend vers 0.

Peux tu m'aider encore s'il te plait? Merci beaucoup

Alors j'ai pas dit l'inégalité des accroissement finis, j'ai dit l'égalité des accroissement finis.
c'est vrai que l'inégalité permet de prouver l'inégalité de gauche mais pas celle de droite.

Je préfère appliquer l'égalité.
Il existe un réel a compris entre x et x+1 (au sens stricte) tel que f(x+1)-f(x)=f'(a).
Or f' est strictement décroissante, donc f'(a)>f'(x) d'où l'inégalité de gauche.
Essaie de faire le même raisonnement pour l'inégalité de droite.

Autre chose : pourquoi "lim(f'(n+1)-f'(n))=0 =>lim f'(x+1)-f'(x)=0" est vrai ?

Kaiser

En effet mon implication n'est pas justifié(attention ce n'est pas f' mais f). Si on rajoute que f est continue, est ce que cette implcation marche?

Si non, cela me pose probleme puisque je l'ai utilisé pour démontrer l'implication de gauche à droite dans la question 2.

Je te remercie pour la premiere
Peux tu m'aider pour la 3.b et la 2 si mon raisonnement est faux stp? Merci

Il n'y a pas besoin de la continuité de f. Il suffit que la limite existe.

Voici un contre-exemple :
On est bien d'accord que la fonction x n'admet pas de limite en l'infini.
Par contre la suite tend vers 0 (elle est même nulle).

Dans le cas qui nous intéresse, on ne sait pas si la limite existe mais ce n'est pas grave.
Comme f(n+1)-f(n) tend vers 0 alors f(n)-f(n-1) tend aussi vers 0 (évident) et donc par encadrement f'(n) tend vers 0 quand n tend vers l'infini.
Or on sait que f' est décroissante et est positive, donc f' admet une limite finie quand x tend vers +. Notons la a.
alors pour tout suite tendant vers +, la suite tend vers a.
En particulier, la suite (f(n)) tend vers a. par unicité de la limite, on a a=0.

Kaiser

Re Kaiser. Effectivement il fallait justifier l'existence de cette limite, cela me paraissait évident donc je ne l'ai pas recopier ici.

Mais je n'ai fais ici que la condition nécessaire (ou suffisante). Il manque donc un sens, et celui ci me pose probleme mais je propose ceci:
Si lim f'(x)=0, alors lim f'(n)=0 donc lim f(n+1)-f(n)0
et lim f(n)-f(n-1)0 or lim f(n+1)-f(n)=lim f(n)-f(n-1)
donc 0lim f(n+1)-f(n)0 donc cette limite est égale à 0 et donc s'n et s"n sont adjacentes. Est ce juste?

Merci pour ta patience

            

Désolé mais tu admets l'existence de la limite. Il faut la prouver avant de recourir à la notation lim.

En fait, il y a quelque chose que tu n'as pas utilisé. On sait que f' est positive donc f est croissante.
On en déduit que pour tout x .
Or f(x+1)-f(x)
Kaiser

Effectivement mon raisonnement était encore faux une fois de plus. Juste une derniere question, je te soumets mon raisonnement pour la question 2:

On a f(n+1)-f(1)<sn<f(n)-f(0). Or f' positive donc sn est croissante.
Si lim f(x)=L quand x tend vers +00,  f(n)-f(0)L-f(0) donc sn majorée et croissante donc converge.

Si sn converge vers K, on montre que f(n)<sn+f(1)K+f(1) donc f(n) converge. Mais je ne peux conclure sur lim f(x) quand x tend vers +00?Comment montrer ici que f(x) converge?

MERCI encore

N'oublie pas que f' étant positive, f est croissante.
On en déduit lim f existe dans .
Notons a cette limite.
On en déduit que pour toute suite tendant vers +, la suite tend vers a.
En particulier tend vers a .
par unicité de la limite, a=0. d'où le résultat.

Kaiser

Un grand MERCI à toi Kaiser, c'est un plaisir de résoudre ces problèmes avec toi. Merci d'avoir été si patient et d'avoir si bien répondu à toutes mes questions.

Un bientot et merci encore

Mais je t'en prie !