Bonjour,

Je suis bloqué sur l'hérédité du raisonnement par récurrence.

On donne deux suites (Un)n et (Vn)n définies par:





Montrer que n ^* et  . En déduire que (Un) et (Vn) converge.

Notons P(n)« n>0, n!≥2 ^n-1»

Initialisation :

1!=1≥2 ⁰=1 P(1) est vraie.

Hérédité : supposons que P(n) est vraie.

n!≥2^n-1 (n+1)!≥(n+1)2^n-1

Ona : (n+1)2^n-1≥2ⁿ n≥1 (ce qui est vraie)

Donc n>0 (n+1)!≥(n+1)2^n-1≥2ⁿ

Conséquence : pour tout n>0 (n+1)!≥2ⁿ

Conclusion : P(1) est vraie et P(n) P(n+1)

D'où P(n) est vraie.

Maintenant notons:
Q(n)« n>0 U_n≤3»

Initialisation : U₁=2<3 Q(1) est vraie.

Hérédité : Supposons que Q(n) est vraie,

U_n≤3

D'autre part : 1/(n+1)!≤2^-n

Donc U_n+1≤3+2^-n

Et je suis bloqué.

Merci de m'aider!