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Niveau Prepa (autre)
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Suites numériques

Posté par
Saturo
03-01-24 à 18:45

Bonsoir

J'ai besoin un peu d'aide sur cet exercice

On considère la suite U définie par U0 = racine de 2 et
Quelque soit n un entier  U (n + 1) = racine carré de ( 2 - Un)
En considérant (U2n)n et (U2n+1)n; montrer que u converge.

Posté par
carpediem
re : Suites numériques 03-01-24 à 19:06

salut

on te dit tout ce qu'il y a à faire : considérer les suites de rangs pairs et impairs ... alors qu'attends-tu ?

posons f(x) = \sqrt{2 - x} et alors u_{n + 1} = f(u_n)

déjà il est immédiat que la suite est bornée par 2 (à prouver)

ensuite ben pour avoir les suites de rangs pairs et impairs il faut considérer f \circ f puisque u_{n + 2} = f (u_{n + 1}) = f \circ f (u_n)

enfin quand on voit cette indication on pense immédiatement aux suites adjacentes (même à tort) mais à voir !!!

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suites numériques 03-01-24 à 21:05

Bonsoir,
Je commencerais par résoudre f(x) = x et regarder un peu ce qui se passe dans un repère avec la courbe de f et la droite d'équation y = x.

Posté par
Saturo
re : Suites numériques 04-01-24 à 13:19

Bonjour

Merci pour vos suggestions ! Voici ce que j'ai fais :

f(x) = sqrt ( 2 - x )

J'ai d'abord calculer U1 ; U2 et U3
Et j'ai remarqué que U0 >= U2

J'ai Montrer  alors par récurrence la propriété P(n) : « U 2n >= U2n+2 » pour tout n € N.

J'ai conclu que la suite extraite paire ( U2n )n est décroissante ..

On a : U2n >= U2n+2 or f est décroissant
=>  U2n+1 = f(U2n) <= f(U2n+2) = U2n+3

Donc la suite extraite impaire U2n+1 est croissante

Est-ce correct ?

Si oui des indications pour montrer que la limite de U2n - U2n+n = 0  s'il vous plaît !

Merci beaucoup 🙏 !

Posté par
carpediem
re : Suites numériques 04-01-24 à 14:47

limite de quoi ?

ensuite il eut être utile de suivre le conseil de Sylvieg

Posté par
Sylvieg Moderateur
re : Suites numériques 04-01-24 à 19:25

Tu peux aussi utiliser ceci de carpediem :
La suite est majorée par 2.

Et même par 2.
Sont-elles minorées ?

PS "U2n - U2n+n"

Posté par
Saturo
re : Suites numériques 05-01-24 à 16:57

Merci beaucoup de votre aide ! On a corrigé l'exercice ce matin en Classe !

Posté par
carpediem
re : Suites numériques 05-01-24 à 18:05

dans quel pays te trouves-tu pour avoir clase aujourd'hui ?

Posté par
Saturo
re : Suites numériques 05-01-24 à 23:21

Au Sénégal ! La fête c'est du 23 Décembre au 02 Janvier

Posté par
carpediem
re : Suites numériques 06-01-24 à 11:26

ok merci



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