Bonjour, j'ai besoin d'aide pour une question d'un exercice qui me pose quelques soucis voici l'enoncé :
1) On pose Un la somme pour k allant de 2 à n de ln(k)/k
. Trouver un équivalent de (Un) en l'infini.
2) Montrer que la suite (Vn) définie par pour tout n 2 Vn = Un - ln²(n)/2 converge
3) On pose l la limite de (Vn). Trouver un équivalent de Vn - l en l'infini.
Pour les deux premières questions tout va bien mais c'est à la troisième que ça se corse, j'y ai passé presque 2h et rien n'a aboutit. J'avais le sentiment d'être proche du but avec une comparaison série intégrale mais je suis peut-être passé à coté de quelque chose (ou bien ce n'est pas ça du tout c'est très probable). J'ai cherché un peu sur internet mais aucune trace nulle part de cet exercice, il est inexistant.
Enfin voilà si quelqu'un aurait une indication à me donner ou pourrait m'aider à trouver la solution ça serait top. Merci d'avance
Bonne journée
Petite erreur j'ai mit niveau sup mais je suis en spé l'exercice est cependant faisable avec mes connaissances de sup puisque nous n'avons rien vu de nouveau qui pourrait servir.
salut
eput-être nous détailler un peu la propriété utilisée pour répondre à 1/ et 2/
et surtout l'équivalent de u_n à l'infini qui doit certainement servir pour 3/ puisque si on a un équivalent de v_n on a un équivalent de v_n + k pour tout réel k ... ce me semble-t-il ...
Bonjour,
Il serait plus clair d'avoir tes réponses aux 2 premières questions.
Je suis simplement un lecteur de ce post, car l'exercice me semble intéressant, mais je laisse l'aide aux personnes plus compétentes que moi.
Bonjour,
* Pour les questions 1/ et 2/ je pense qu'en effet l'encadrement par comparaison avec une intégrale fonctionne bien. En effet, 1/2*ln(x)2 est une primitive de ln(x)/x... donc vue la question, ça doit marcher.
* Pour la question 3/, j'essaierais tout d'abord de trouver un équivalent de ln(n)/n - int(x=n, n+1, ln(x)/x. dx) car on voit que le terme en ln(n)/n va sauter ce qui va forcer à trouver un terme d'ordre supérieur (et c'est justement ce dont on a besoin).
Puis en réinjectant tout ça dans la formule de comparaison "somme intégrale", ça devrait aboutir à quelque chose d'utilisable.
PS: avec la formule d'encadrement, il faut la monotonie. Mais ln(x)/x n'est pas décroissante autour de x=2 ; ce terme doit être traité séparément.
Bon courage
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