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Suites numériques solutions de exp(x)=nx
Bonjour,
Je rencontre des difficultés à traiter l'exercice suivant :
Soit n∈N avec n ≥ 3.
a) Montrer que l'équation exp(x)=nx d'inconnue x∈R+ possède exactement deux solutions 0 < x_n< y_n.
b) Étudier la monotonie de (x_n) et (y_n). En déduire qu'elles convergent et déterminer leur limite.
c) Montrer que : x_n ∼ 1/n, puis trouver un équivalent de x_n−1/n lorsque n tend vers l'infini.
d) Soit ϵ > 0. Montrer que y_n ≤ (1+ϵ)ln(n) à partir d'un certain rang.
Pour la a), c'est bon, j'ai étudié la fonction f : x ↦ exp(x)−nx, pour trouver x_n dans [0, ln(n)] et y_n dans [ln(n), +∞[ tels que f(x_n) = f(y_n) = 0.
Pour la b), je trouve que y_n diverge car ln(n) diverge, pour x_n je sèche.
A la c), ça m'arrangerait bien que x_n tende vers 0, alors à partir d'un DL de la fonction exp et de l'équation exp(x_n) = n*x_n je trouve bien que x_n ∼ 1/n. Le 2e équivalent me pose plus de soucis, de même pour la dernière question...
Quelqu'un pourrait me donner un petit coup de main ?
La suite n 
xn est décroissante tandis que n yn est croissante .
Elles convergent dans 
{-
, +} . Si tu as montré que 0 < xn < ysub]n[/sub] pour tout n , t = lim( xn) est 
0 .
xn /exp( xn ) converge donc vers t/exp(t) donc ...
Hello !
Tu as pas étudié la monotonie de
.
est décroissante sur
Ainsi par décroissance de ,
Puis suite décroissante et minorée...
Pour la c, si ,
donc a = 0
Ensuite si on pose
etc..
Bonjour !
En posant tu as facilement
d'où
(fais un dessin et/ou regarde le tableau de variations).
La suite est minorée donc convergente.
Après, comme il est usuel, la relation te permettra d'obtenir un développement limité à l'ordre que tu souhaites (à commencer par la limite qui est un développement d'ordre 0), suffit d'être patient...
De même, pour montre la croissance et utilise
...
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