Le corps du problème réside qu'on te demande beaucoup de choses à propos de cette suite.
En terminale, tu as du voir qu'on peut remplacer la suite par une fonction équivalente(de type rationnelle ou irrationnelle).
Donc ici, tu poses f(x)=racine de(1+x)
La limite de (1+x) vaut + inf d'ou lim f(x)=+inf.
De là, tu étudies la dérivée sur son ensemble de définition.
d(x)/x=1/2racine de(1+x).
Comme U0=1, D(f)=]1 ; + inf[
La dérivée est donc positive sur son ensemble de définition.
F est donc croissante.
Si lim(f(x))=+inf, f converge et est majorée par L.
Je pense que tu pourrais résoudre ce problème à l'aide de suites télescopiques mais tu verras ça bientot.
Réponse d'un analphabète.

Salut
en fait pour le a) il faut voir que si un a une limite l
alors
Tu peux résoudre cette équation, tu obtiens
l'autre solution étant négative.

pour celui qui souhaitait passer le capes de maths (hypognage B/L), pour le passer il faut obligatoirement une licence de maths ou son équivalent

désolé , je me suis trompé de thème, mille excuses

pour ton pb : le th du point fixe

pour le 2) faire une conjecture (graphique par ex ou calcul : ti 89, 92) et faire une jolie récurrence pour prouver cette conjecture  

Pour la question a.) , ma démonstration est elle juste ?

Soit l la limite de en
Alors
et

Soit f la fonction definie par
car une racine est toujours positive.
Donc la limite en est

Pour la question b.) je pensais étudier le signe de pour démontrer que est croissante (en montrant que ), et étudier le signe de pour démontrer que est majorée par l (en montrant que ), cependant j'ai un peu de mal...
Si vous pouviez me venir en aide
Merci

Salut pour voir que ta suite est croissante montrer que semble etre la bonne méthode, il te faut alors étudier la fonction
et montrer qu'elle est positivepour x>=1 par étude de signe.

OK merci bien.
Et auriez vous une aide a m'apporter pour démontrer que Un est majorée?
Merci

peut ^tre peux tu étudier la fonction
et il te faut montrer que
mais je n'ai pas vérifié
Si tu montres cela tu aura majoré ta suite par ta limite et tu auras fini

En fait mon inégalité est facile à vérifié car f est croissante donc sur elle est majoré par

donc si j'ai bien compris je peux faire:

car f est croissante

Donc f est majorée

C'est cela ?
Merci!

On m'a dit qu'il fallait montrer que l'intervalle [0,limite] est stable, en procedant par récurrence. Qu'en pensez vous et comment procéder ?
Merci beaucoup

Je pens e qu'il faut plutôt montrer que [1,limite] est stable par récurrence, et c'est ce que par mon calcul je voulais te montrer.
si tu prends il faut que tu montres que son image est toujours dans cette intervalle, ainsi pour tout n un appartient a cet intervalle et donc ta suite est bien majorée.
PS:pas la peine de recalculer tu connais déja car f(limite)=limite

Bonsoir,
Je ne comprends pas pourquoi il faut montrer que l'intervalle est stable pour montrer que la suite est majorée...

Pourquoi ceci n'est il pas juste ?

   U0 < x < limite
<=>U0 < x < (1+racine(5))/2
<=>1 < f(x) < (1+racine(5))/2 car f(limite)=limite
Donc f(x) est majorée

Merci beaucoup

Bonjour,
Je ne comprends pas pourquoi il faut montrer que l'intervalle est stable pour montrer que la suite est majorée...

Pourquoi ceci n'est il pas juste ?

   U0 < x < limite
<=>U0 < x < (1+racine(5))/2
<=>1 < f(x) < (1+racine(5))/2 car f(limite)=limite
Donc f(x) est majorée

Merci beaucoup

Salut,
cela revient au même de montrer que l'intervalle est stable, ou d'écrire ce que tu as écrit, en effet ce que tu as écrit montre que l'intervalle est stable.

Bonjour titimarion,
En fait j'ai montré ça à mon professeur et il a sauté au plafond, il m'a dit qu'il fallait aussi que je montre que l'intervalle est stable. Mais je ne comprends pas pourquoi.

J'avoue que je ne comprends pas non plus pour moi, c'est la même chose, montrer que l'intervalle est stable revient à montrer que si un est dans l'intervalle alors u(n+1) aussi, cependant ton étude de fonction le montre car u(n+1)=f(un), peut être que le prof veut que tu fasses une autre méthode, cependant celle la me parait tout a fait correcte

okay merci

Je n'arrive pas a faire la question c.)
Le premier terme est v0=3.
J'ai calculé la limite de la meme maniere que pour la suite Un. Je trouve donc la meme limite (1+racine(5))/2, (ce qui fait environ 2.11) cependant quand je calcule les termes un a un, la suite ne semble pas du tout tendre vers cette limite.(la suite décroit et deja v1=2 qui est deja inférieur a la limite)

Au secours titimarion.
Merci

a si c bon g compris
merci

Bonjour,
La suite en question est une suite recurrente: u_n=f(u_(n-1))

-f est positive,
-f est derivable avec dérivée positive  donc f est croissante
-|f'|<1, donc f est contractante,d'après le théorème du point fixe f adment un seul point fixe l et l est le limite de la suite.
-f strictemet croissante implique que la suite est monotone et la monotonie de la suite est donne par le signe de u_1-u_0 qui est positive dans le cas de u_n (negatif dans le cas de v_n donc la suite v_n est decroissante ).
-Conclusion la suite est monotone croissante et admet limite l point fixe unique de f , mais une suite a terme positive et croissante converge ssi elle est majorée et son limite l= sup u_n donc l est la borne supérieure de la suite.

Bonjour ,
La suite v_n est  decroissante bornée inferieurement par zero donc elle converge et sont limite est inferieur à 2.