salut

puisque tu regardes les termes de 2 en 2 avec les suites (a_2n) et (a_2n+1)

alors on a simplement

donc regarder ce qui se passe avec la fonction g = f o f ...

PS : sans rentrer dans les détails il est toujours intéressant d'avoir au moins les résultats des questions précédentes ...

Merci pour votre réponse
je vais essayer de voir ce qui se passe

Salut ,

J'ai trouvé que g admet un point fixe qui est 1 et c'est un point fixe attractif et si on prend u_{n+1}=g(u_{n})   cette suite est convergente dans les intervalle voisinage de 1 (centré en 1) c'est ça ??
Mais je ne vois pas le rapport avec les  (a2n) et (a2n+1)  
désolé et merci beaucoup

Salut Mr carpediem,

pour la question 2 j'ai étudier les variations de la fonction f et la position relatife de   et la droite y=x j'ai trouvé que la suite ( ) est croissante sur ]-;1]  et décroissante sur [1;+[
donc dans le premier intervalle si  ( ) converge la limite sera égale à 3 et dans le deuxième intervalle la limite sera 0
ceci contredit le fait que la limite si elle existe elle est égale au point fixe c'est à dire 1 dans ce cas
la réponse est bon ??
Merci beaucoup
Au revoir

Salut
je pense que j'ai fais une error comme on a  f est décoissante sur [0;+[ et la suite  ()  à ses valeurs dans [0,3] alors la suite n'est pas monotone
Merci
Au revoir

Salut,
en utilisant g=fof  je trouve    et  
il faut maintenant trouver la monotonie de    et    je me bloque  dans cette étape  
Merci   beaucoup
Au revoir

f est positive, paire et décroissante de  [0, +oo[ dans ]0, 3]

de plus f(1) = 1 est le seule point fixe ...

si x < 1 alors f(x) > 1 (car f est décroissante) et inversement

donc f o f(x)  < 1

on en déduit que (exepté a_0) touts les a_n sont soit supérieurs a 1 soit inférieur à 1

et il en est de même des a_(n + 1) qui sont d e l'autre côté

g  = f o f est donc croissante

donc les suite (a(2n)) et (a_(2n + 1)) sont monotones et le sens de la monotonie est donné par le signe de ...

il faut donc étudier le signe de g(x) - x = f o f(x) -x ...

Salut ,
J'ai trouvé que le signe de g(x)-x change 4 fois, le problème que j'ai c'est que je ne connais pas la valeur de sinon ça serai plus facile
merci mr carpediem
Au revoir

f est positive donc quel que soit a_0, f(a_0) = a_1 est positif ...

Sauf erreur on trouve effectivement que a trois points fixes avec et les images par des intervalles formés par ces points  sont faciles à préciser.

On peut alors étudier les cas
1.   d'où la position de et d'étudier les suites extraites
2. etc...
3. etc...

Bonsoir,
Une remarque sur la question 2) :
Que se passe-t-il si a₀ = 1 ?

Je reprends ce qu'a écrit carpediem :
La fonction f est à valeur dans ]0;3].
fof est croissante.
Donc les sous suites paires et impaires sont bornées et monotones.

Il y a là de quoi répondre au début de la question 3).

Merci à vous tous pour vos réponse je suis occupé un petit peu je vais revenir sur votre remarque après ..
.mais je pense que je peut répondre au questions maintenant
Au revoir et merci encore

De rien et bonne nuit

Bonsoir,
Pas le temps de répondre à tout ce soir.
Pour f(a) = b :
Poser A = f(a) et démontrer que fof(A) = A.
Donc A = 1, a ou b.

Ce que tu as écrit est correct.
Pour il suffit de noter que . Donc est un point fixe de et on a .

Peux-tu indiquer (pour ceux qui voudraient comprendre et n'ont pas trouvé) comment tu as montré qu'il y a trois points fixes pour ?
As-tu trouvé les expressions de . Elles ne sont pas très compliquées.

Tu peux trouver les valeurs exactes des racines a et b.
D'abord avec un logiciel ou une calculatrice genre TI89.
Puis tu les démontres en factorisant le numérateur de fof(x) - x par (x-1)(x-a)(x-b).

Il y a peut-être moyen de les trouver sans béquille, en factorisant le polynôme de degré 4 que tu as trouvé derrière (x-1).
C'est le genre d'astuce qu'affectionne habituellement carpediem.

Pour trouver les points fixes tu peux opérer ainsi :
Pour commencer, tout point fixe (y compris complexe) de doit être un point fixe de .
Il est facile de voir que les points fixes de sont les racines de polynômes, l'un de degré 3, l'autre de degré 5.
Il est donc obligatoire que le polynôme de degré 3 divise l'autre.
En cherchant le quotient on obtient un polynôme de degré 2, ayant deux racines réelles...

@luzak
Pas mal la factorisation par le numérateur de f(x)-x ou x-f(x)

@nino00,
Le fait que g est croissante suffit pour démontrer que les suites (a_2n) et (a_2n+1) sont monotones.

Au passage, j'en profite pour conseiller de noter plutôt b et c les points fixes de g autres que 1.
Éviter la lettre a qui est déjà utilisée ; même si c'est avec un indice, ça peut prêter à confusion.

J'ai dû lire rapidement et traité seulement le cas . Ton énoncé prétend ce qui demande quelques précisions.
Pour faire plaisir à Sylvieg (que je salue) je note les points fixes de autres que .
Sauf erreur j'ai obtenu

En remarquant que sont paires tu devrais donc examiner aussi les cas

Attention, la croissance de suffit ici pour la monotonie des suites parce que c'est une fonction définie sur . Il vaut mieux, à mon avis, même si cela paraît évident, déterminer correctement les intervalles stables par à partir d'un certain rang.

Bonjour luzak,
Merci pour et
Je ne comprends pas bien ton histoire d'intervalles stables par g.
Dans le cadre de cet exercice, on a une fonction g croissante sur et à valeurs dans un intervalle inclus dans ]0;3[.
Donc toute suite (w_n) définie par son 1er terme w₀ et w_n+1 = g(w_n) est monotone et bornée.

croissante sur ₊

Monotone à partir du rang 1

Plutôt que discuter selon les valeurs de a₀, ne serait-il pas plus simple de discuter selon les valeurs de f(a₀) = a₁ ?

à partir de a_0 et la parité des fonctions on en revient (enfin on peut) de toute façon toujours à considérer le premier terme dans R+ : ce qui se passe avec a_0 est la même chose que ce qui se passe avec -a_0

Bonsoir Sylvieg
La suite des itérées d'une fonction croissante n'est monotone que si elle est définie et si TOUS les termes restent dans une partie où la position de la courbe par rapport à la bissectrice des axes ne change pas...
Ici la fonction n'est pas croissante sur (fonction paire) mais sur et la borne 0 qui n'est pas point fixe pourrait poser problème .
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Un exemple (je fais vite, à vérifier) qui pourrait poser problème :
fonction définie sur croissante et bornée et il y a deux points fixes .
Pour on a bien une suite décroissante de limite 2 : l'intervalle est stable par .
Pour on a une suite croissante de limite 2 : l'intervalle est stable.
Mais pour la suite n'est pas définie : les premiers termes vont en décroissant mais ils finissent par devenir inférieurs à .
......................................................................
Dans l'exemple en cours il se trouve que la position de la courbe par rapport à la bissectrice donne une suite croissante lorsque le premier terme est choisi entre et le plus petit point fixe ce qui évite le phénomène de "non définition" .
En fait (et même )  est stable par ce qui permet de "définir" la suite.

La position de la courbe par rapport à la 1ère bissectrice n'a pas d'influence sur le fait que la suite est monotone.
Ici, on a une fonction g croissante sur ₊ et à valeurs dans ₊.
Ça suffit pour affirmer que toute suite (w_n) définie par la donnée de w₀ et la relation de récurrence w_n+1 = g(w_n) est monotone à partir du rang 1.