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suites réelles
Bonjour! Voilà, je suis en train de bosser mon cours et un théorème me résiste, celui du "point fixe". le voici:
Soit f une focntion réelle définie sur un intervalle I de R. Soit (Un) la suite définie par:
- Uo = a (appartenant à I)
- Pour tout n entier naturel, U(n+1) = f(Un)
on suppose f(I) inclus dans I, que f est dérivable sur I et que, pour tout x de I, la valeur absolue de f'(x) < k < 1
alors la suite (Un) converge vers l, l vérifiant f(l)=l
voilà, à vrai dire, je ne comprends pas vraiment ce théorème et il me manque la démonstration... A bon entendeur salut!
merci d'avance 
serait-il possible d'avoir aussi la démonstration de : (Un) et (Vn) deux suites adjacentes, alors elles sont convergentes et convergent vers la mm limite...
merci d'avance!!!
Bonjour patouchka,
la démonstration du théorème du point fixe utilise la notion de suite de Cauchy, que tu ne connais pas en Terminale.
Définition: Une suite réelle (Xn) est de Cauchy si pour tout e>0 il existe M entier tel que pour tout m>M et h>0 on a |X(n+h) - X(n)| < e.
Théorème: si une suite réelle est de Cauchy, alors elle est convergente (vers une limite finie).
(On dit que
De plus, ce théorème n'est vrai que si l'intervalle I est un intervalle fermé.
Le fait que f(I) est inclus dans I garantit qu'on peut bien définir la suite (Un) (raisonner par récurrence).
Comme |f'(x)| < k pour tout x de I, le TAF permet d'affirmer que pour tous x et y de I, on a:
|f(x) - f(y)| < k|x - y|. (1)
Montrons que (Un) est de Cauchy puis appliquons le théorème précédent.
Fixons e>0.
Pour tout n>0 et h>0 on a en appliquant (1) n fois de suite (ce qui masque une démo par récurrence)
|U(n+h) - U(n)| = |fn(Uh) - fn(U0)| < kn|Uh - U0|. (2)
Or l'inégalité triangulaire entraîne |Uh - U0| < |U(h) - U(h-1)| + ... + |U1-U0| (3)
avec pour tout j entre 1 et h (toujours par récurrence):
|U(j) - U(j-1)| < kj-1|U1 - U0| (4)
(3) entraîne alors
D'après (2), il vient donc
Comme 0 < k < 1 le membre de droite tend vers 0 lorsque n tend vers l'infini, on peut donc rendre les deux membres inférieurs à e dès que n est assez grand.
Il existe donc un entier M tel que pour tout entier n>M et tout entier h>0 on ait
La suite (Un) est donc de Cauchy, donc elle converge vers un certain réel l.
Comme tous les termes de cette suite sont dans l'intervalle fermé I, l est encore dans I.
Enfin, (Un) tend vers l et f est dérivable donc continue au point l de I, donc la suite (f(Un)) tend vers f(l).
Or, f(Un) = U(n+1) tend encore vers l.
Par unicité de la limite d'une suite, il en résulte que f(l) = l.
Arf, le fameaux théorème 13 (enfin c'est comme ça qu'on l'appelait en sup 
)
Une alternative pour démontrer la convergence et de passer par le TVI. De ce fait on montre l'existance du point fixe (l'hypothèse est éssentielle). Et l'on prouve l'unicité de ce point fixe par une absurdité avec le TAF.
Mais je crois qu'avec se raisonnement on exploite pas vraiment le fait que est contractante mais juste de dérivée différente de
(bon remarque la dérivée est très probablement aussi continue
)
La démo de Tigweg m'intéresse aussi, je vais donc m'empresser à la lire !
Salut Soucou...
Dans la filière prépa dans laquelle je suis, je n'ai pas étudié les suites de Cauchy... en revanche, tes outils de démonstrations me semblent plus proches des miens... en effet, mon prof fait généralement les démonstrations par le biais du TVI et TAF ou des suites extraites... alors si tu pouvais me donner ta démonstration stp...
Merci!!
Bonjour soucou,
tu as entièrement raison, il y a plus simple que ma démonstration dans le cas réel, je viens de le démontrer sur un papier en suivant tes idées; je ne connaissais pas cette démo!
Par contre le théorème du point fixe ne reste pas vrai si l'on suppose seulement |f'(x)| est différent de 1 pour tout x de I, on a besoin de l'hypothèse k < 1 pour prouver la convergence de la suite.
De plus f' n'est pas nécessairement continue mais je ne vois pas le rapport, la continuité de f' n'est pas du tout nécessaire.
Le désavantage de cette démonstration plus simple est qu'elle utilise le TVI et donc qu'elle ne se généralise pas aux espaces non ordonnés, comme 
par exemple.
Ma démonstration, plus générale, prouve que pour toute application f strictement contractante d'un espace métrique complet (c'est-à-dire où les suites de Cauchy convergent toutes, comme 
ou ) E dans lui-même, il existe un élément l de E tel que toute suite Un définie par la récurrence
et
converge vers l (la limite l ne dépend pas du choix de a, par stricte contractance de f).
Voici cette démonstration plus simple:
Notons I=[u;v].
Si pour tout x de I on avait f(x) < x alors f(u) < u ce qui est exclu puisque f(I) est inclus dans I; de même, on n'a pas f(x) > x pour tout x de I.
Il existe donc r et s dans I tels que f(r) > r et f(s) < s.
f étant continue, il en est de même de l'application qui à x associe f(x) - x, à laquelle on peut appliquer le TVI:
d'où l'existence de l dans I tel que f(l) = l.
S'il existait un deuxième point fixe l' différent de l, alors:
niveau Terminale (utilisation de la stricte contractance de f:
niveau Maths Sup (Pour ce point précis ,seul le fait que |f'| est différent de 1 est en effet utile, utilisation du TAF):
Pour tout n entier on a alors (par récurrence):
Enfin f(l) = l d'après la fin de mon premier post.
Arf, j'ai été devancé...
Il fallait lire
d'où en appliquant le TAF, il existerait m entre l et l' tel que |f'(m)| = 1, contradiction.
Oui tout à fait raison pour la contractivité de la fonction, mais c'est juste ce matin j'avais un peu doute, mais c'est certain que c'est ultra-éssentielle. D'ailleurs cette hypothèse ne suffirait pas si la fonction est contractante sur des sous intervalles de uniquement ???
Je ne comprends pas ce que tu veux dire, restreindre I n'a pas grand intérêt, on retombe sur la même démo puisqu'il faut encore que f stabilise le sous-intervalle!
salut vous,
les suites adjacentes sont au programme de TS
quant au point fixe il ne l'est pas explicitement mais nous avons le:
THE : composée d'une suite par une fonction (continue): si lim un=a et si limaf(x) = b alors lim f(un) = b
on en déduit que si (un) est définie par la relation de rec: u(n+1)=f(u(n)) alors on en déduit (je vous laisse faire la démo) que a = b donc que f(a) = a
salut Tygweg
tout à fait mais mon f n'a pas besoin d'être dérivable
mais si f est dérivable on retombe sur ta démo
un classique
En fait, tout ce qui compte est la stricte contractance, je ne me sers de rien de plus!
J'avoue que je ne comprends pas très bien pourquoi on leur met cette hypothèse énorme dans l'énoncé du théorème!
Peut-être parce qu'on estime que c'est encore des petits et qu'en Terminale, toutes les fonctions ou presque seront dérivables?? 
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